ich muss diese aufgabe loesen… sehr wichtig… und ich hab keine ahnung
eine 330 ml getraenkedose hat einen durchmesser von 5,6 cm und eine hoehe von 14,5 cm. untersuche, ob man eine dose mit demselben volumen herstellen kann, fuer die weniger aluminium benoetigt wird?
du musst einfach überlegen wie dick das aluminiumblech ist.
Lg der einzigware
ich glaube, hier geht es eher um die form der dose.
moin;
Eine Coladose ist (das wird gemeinhin angenommen) weitestgehend ein Zylinder.
Von dieser hast du nun das Volumen gegeben sowie die Referenzmaße der aktuellen Coladose. Hier sollst du nun also ermitteln, ob es Zylinder des gleichen Volumens, aber geringerem Oberflächeninhalts als dem des Originals gibt (Stichwort lokales Minimum).
hoffe das hilft 
mfG
Hossa
Von der Alu-Dose sind der Durchmesser d0=5.6cm und die Höhe h0=14.5cm bekannt. Der Einfachheit halber rechnet man mit dem Radius r0=d0/2=2.8cm der Dose, das spart Schreibarbeit. In guter Näherung hat die Dose die Form eines Zylinders. Dessen Volumen V0 ist gleich der Grundfläche (Kreis) mal der Höhe, also:
V_0=\pi r_0^2h_0=357.1363,\mbox{cm}^3
Deine Aufgabe ist es nun, eine Dose zu entwerfen, deren Volumen V so groß ist wie V0, deren Oberfläche (=Materialverbrauch) jedoch minimal ist. Nehmen wir an, deine Dose habe den Durchmesser d, bzw. den Radius r=d/2, und die Höhe h, dann gilt für die Oberfläche F:
F=\pi r^2+2\pi rh+\pi r^2
(=Fläche Boden + Fläche Mantel + Fläche Deckel)
Das kann man etwas umformen:
F=2\pi r^2+2\frac{\pi r^2h}{r}
Im Zähler des Bruches steht nun exakt das Volumen V der Dose. Dieses soll jedoch genau so groß sein wie das Volumen V0 der bekannten Dose. Also können wir V durch die Konstante V0 ersetzen:
F=2\pi r^2+2\frac{V_0}{r}=2\pi r^2+\frac{2V_0}{r}
Diese Formel für die Oberfläche der Dose hängt nur noch vom Radius r ab. Damit die Oberfläche minimal wird, muss also die Ableitung von F nach r gleich Null sein:
0=\frac{dF}{dr}=4\pi r-\frac{2V_0}{r^2}
Auf beiden Seiten mir r² multipliziert ergibt:
0=4\pi r^3-2V_0
und das kann man leicht nach r umformen:
r=\sqrt[3]{\frac{V_0}{2\pi}}=\sqrt[3]{\frac{357.1363,\mbox{cm}^3}{2\pi}}=3.8449,\mbox{cm}
Die Höhe der optimalen Dose ergibt sich nun ebenfalls aus dem Volumen V0:
h=\frac{V_0}{\pi r^2}=\frac{357.1363,\mbox{cm}^3}{\pi \left(3.8449,\mbox{cm}\right)^2}=7.6898,\mbox{cm}
Die Maße der optimalen Dose lauten also:
d=7.6898,\mbox{cm}\quad;\quad h=7.6898,\mbox{cm}
Mit anderen Worten, der Durchmesser d und die Höhe h der optimalen Dose sind gleich.
Die Oberfläche von der ursprünglichen Dose beträgt übrigens:
F_0=2\pi r_0^2+2\pi r_0h_0=304.3575,\mbox{cm}^2
Die Oberfläche der optimalen Dose beträgt hingegen nur:
F=2\pi r^2+2\pi rh=278.6578,\mbox{cm}^2
Man kann also etwa 8,4% an Materialkosten sparen.
Viele Grüße
Hasenfuß
Hallo,
das ist eine nette Rechnung, aber da ist eine gewissen Naehrung drin.
Der Boden ist deutlich duenner als der Deckel, und damit er dem Druck standhaelt, nach innen gewoelbt (ist also ein Teil einer Kugel).
Wenn man den Durchmesser der Coladose erhoeht, muss man entweder den Boden dicker machen, oder staerker woelben – wobei die Grundflaeche nichtlinear anwachsen wuerde.
Meine Schlussfolgerung ist, dass unter Beruecksichtigung der Bodenflaeche die Coladose vermutlich schon auf Materialersparnis optimiert ist.
Gruesse,
Moritz
zu lang gedacht
Moin,
Meine Schlussfolgerung ist, dass unter Beruecksichtigung der
Bodenflaeche die Coladose vermutlich schon auf
Materialersparnis optimiert ist.
das ist vielleicht anzunehmen, aber wohl zu weit gedacht.
Meine Vermutung ist, daß schlicht eine Minimax-Rechnung geübt werden sollte und da ist die Lösung Höhe = Durchmesser die ‚richtige‘
Gandalf
Dies ist eine Matheaufgabe der Oberstufe zum Thema Extremwertprobleme.
Die angegebene Antwort halte ich daher für korrekt.
In der Realität kommen natürlich noch andere Dinge hinzu. Darunter der Verschnitt. Wölbungen Überlappungen zum schweißen etc.
Diese Faktoren würden lediglich die Nebenbedingung und Hauptbedingung entsprechend komplizierter machen.
Außerdem spielt die Ergonomie eine gewisse Rolle. Eine rechnerisch ideale Dose bezüglich des Materialverbrauchs muss nicht unbedingt hübsch sein.
eine kugel?
hi,
die Lösung mit der optimierung der höhe finde ich gut, ist vermutlcih das, was gesucht ist. ich hätte aber nicht nur die höhe variiert, sondern auch eine Kugel statt eines Zylinders/Dose ausgerechnet, ist vermutlich noch sparsamer.