Phönix aus der Asche

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

manche kennen ja das Sprichwort „Phönix aus der Asche“, im Bezug auf Differenzialrechnung. Wenn beide Faktoren beim Integrieren und Differenzieren in absehbarer Zeit wiederkehren, dann lohnt es sich, so langa partial zu integrieren, bis das ursprüngliche Integral wieder „aus seiner Asche“ entsteht. Durch Umformen das so erhaltenen Gleichung kann man das Integral berechnen.

Soviel zur Erklärung.

So nun habe ich ein Integral( e^-x*(sin(2*x)). Das Problem ist, dass ich nun die ganze Zeit einen Faktor mehr bekomme, durch die sin(2*x) und dadurch komme ich doch eig. nie mehr auf mein „Ursprungsintegral“ wieder.

Ist der zusätzliche Faktor einfach zu ignorieren? Oder wie löse ich das Integral „händisch“?

mfg,

Hanzo

#2

So nun habe ich ein Integral( e^-x*(sin(2*x)).

Hallo,

ich vermute mal du meinst

\int e^{-x}sin(2x)dx

Ist der zusätzliche Faktor einfach zu ignorieren? Oder wie
löse ich das Integral „händisch“?

Konstante Faktoren die nicht von der Integrationsvariablen abhängen (insbesondere Zahlen) kannst du vor das Integral ziehen, dann entsteht nach zweimaliger partieller Integration tatsächlich wieder das ursprüngliche Integral.

Grüße

hendrik

#3

Hi,

genau das Integral ist es, nur eine Frage, wie löse ich das ganze denn jetzt auf, sodass kein Integral mehr da ist, wenn es „aus der Asche“ wieder aufersteht?

Die Lösung ist mir zwar bekannt, das bringt aber nichts, wenn der Weg dahin fehlt…

mfg,

hanzo

#4

Hallo,

genau das Integral ist es, nur eine Frage, wie löse ich das
ganze denn jetzt auf, sodass kein Integral mehr da ist, wenn
es „aus der Asche“ wieder aufersteht?

\int e^{-x} \sin(2x), dx =

Einmal partiell integrieren:

\sin(2x) \cdot \left(-e^{-x}\right) + \int {e^{-x} \cdot 2\cos(2x), dx} =

Zweimal partiell integrieren:

\sin(2x) \cdot \left(-e^{-x}\right) + { \left(-e^{-x}\right) \cdot 2\cos(2x) - \int \left(-e^{-x}\right) \cdot (-4)\cdot \sin(2x), dx } =

D.h.
\int e^{-x} \sin(2x) = \sin(2x) \cdot \left(-e^{-x}\right) + \left(-e^{-x}\right) \cdot 2\cos(2x) - \int \left(-e^{-x}\right)(-4) \sin(2x), dx

Dann bringst du alles auf der rechten Seite, das dein gesuchtes Integral enthält, auf die linke Seite (das ist jetzt der Trick!):
5\int e^{-x} \sin(2x), dx = \sin(2x) \cdot \left(-e^{-x}\right) + \left(-e^{-x}\right) \cdot 2\cos(2x)

\Rightarrow \int e^{-x} \sin(2x), dx = \frac{1}{5}\left(-e^{-x}\right) \left(\sin(2x) + 2\cos(2x)\right)

Ich habe das jetzt auf die Schnelle gemacht, für irgendwelche verschmissenen Minuszeichen übernehme ich keine Haftung :smile:
Aber ich hoffe, das Prinzip ist klar geworden?

Viele Grüße
Kati

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#5

\Rightarrow \int e^{-x} \sin(2x), dx =
\frac{1}{5}\left(-e^{-x}\right) \left(\sin(2x) +
2\cos(2x)\right)

Ich hoffe, dem Fragesteller ist klar, dass das Gleichheitszeichen nur symbolisch gemeint ist und nicht wirklich rechts das gleiche steht wie links. Gemeint ist, dass man die Grenzen des Integrals (die ja in der Frage nicht angegeben waren) in die Funktion auf der rechten Seite einsetzen muss, um das Integral zu berechnen.

Gruß

hendrik

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#6

Ah ^^ Danke, jetzt ist mir einiges klarer geworden.
Ja beim 1. Schritt sollte anstatt + Integral, - Inteegral stehen, aber das ist jetzt Nebensache.

Danke für die Hilfe =)

hanzo

#7

Hallo,

[…] für irgendwelche verschmissenen Minuszeichen übernehme ich keine Haftung :smile:

wobei diese Aufgabe übrigens eine nette Option zur Einsparung von viel Minuszeichengedöns bietet. Man muss nur „durch scharfes Hinsehen“ erkennen, dass man auch zum Ziel kommt, indem man nicht sofort

\int e^{-x} \sin(2x):dx

ausrechnet, sondern stattdessen

\int e^t \sin(2t):dt

Dahinter steckt natürlich einfach die Substitution x(t) = –t. Das Rückgängigmachen der Substitution nach dem Ausrechnen des t-Integrals ist angenehmer als das nervige Mitschleifen vieler Minuszeichen durch die Rechnung.

Mit weihnachtlichem Gruß
Martin

#8

Hallo Martin,

danke für deinen Hinweis, daran hatte ich gar nicht gedacht.

Viele Grüße
Kati