Ein mathematisches Hallii Halloo wünsche.
Eine (Cola) Dose hat 0,33 Liter zu beinhalten.
nun ist allerdings das Blechmaterial dieser Dose zu minimieren.
V = ((d^2 * pi) / 4) * h = 0,33
O = 2((d^2 * pi) / 4) + d * pi * h (ins Minimum)
nachdenk nachdenk
Pepperl
Vorgehensweise: Die Oberfläche nach einer Variable auflösen, die Ableitung nach dieser Variable Null setzen und vielleicht noch die zweite Ableitung checken, fertig.
I V(h,r) = 0,33 dm³ = Ah h = 0,33 dm³/(pi*r²)
II O(r,h) = 2 pi r² + h pi r
Einsetzen I in II
IIa O® = 2 pi r² + 0,33 dm³/r
Ableitung Null setzen
dO®/dr = 0 = 4 pi r - 0,33 dm³/r²
4 pi r³ = 0,33 dm³ r = dritte Wurzel aus [0,33 dm³/(4*pi)]
in I einsetzen und h ermitteln, fertig.
Zweite Ableitung
d²O®/dr = 4 pi - 0,33dm³/{dritte Wurzel aus [0,33 dm³/(4*pi)]}
Bei mir kommt raus, dass deutlich größer 0 ist, also haben wir ein Minimum entdeckt.
danke für die rasche Antwort
muss die Sache allerdings erst behirnen
lg aus Ö (wien ist nicht weit)
Hi,
Stichwort Fermat’sches Prinzip.
mir is noch aufgefallen:
r = V / dritte Wurzel (4 pi)
Bei der zweiten Ableitung hab ich ein bisschen geschlumpt vor lauter lauter
d²O®/dr² = 4 pi + 2 V/r³ = 4 pi + 2 V/[V/dritte Wurzel 4 pi] = 4 pi + 2 dritte Wurzel 4 pi > 0
Die Vorgehensweise beruht darauf, dass in einem Minimum die Ableitung 0 ist und die Ableitung der Ableitung größer 0 ist, dass also die Steigung steigt.
Also ist die erste Prämisse Nabla f = 0
Wir könnten dies auch nach zwei unabhängigen Variablen machen, zum Beispiel x und y. Unsere Funktion ist ja die Oberfläche O(r,h) = 2A® + 2M(h,r)
wobei A die Grund- und M die Mantelfläche sei.
Mit der Zusatzbedingung A®*h = constant ist aber eine Variable Funktion der anderen. also ersetzen wir diese und machen aus O(r,h) O®. siehe Antwort 1.
Dann müssen wir die Funktion nur noch nach r optimieren, weil h® implizit mitoptimiert wird (durch die Verknüpfung A®*h = constant).
Nach FERMAT’schem Prinzip.
dO®/dr = 0 das ist zu lösen (und wenn das nicht geht, gibts keinen solchen Punkt).
Beispiel: f(x) = x² df(x)/dx = 0 = 2x also ist bei x ein Extrempunkt
g(x) = exp(x) dg(x)/dx = exp(x) = 0 geht nicht, exp(x) > 0 immer.
h(x) = exp(x²) dh(x)/dx = 2x*exp(x²) = 0 also x = 0
usf. Natürlich geht das alles auch komplizierter, der tiefere Grund dafür ist der Satz über implizite Funktionen. Aber in diesem Fall schießt man mit Kanonen auf Spatzen, Fermatsches Prinzip reicht völlig.
dO®/dr = 0 r = V/ dritte Wurzel(4 pi)
V = pi r² h V = pi*V²*h/dritte Wurzel(16 pi²)
also
1 = pi*V*h/dritte Wurzel(16 pi²) h = dritte Wurzel(16 pi²)/(pi*V)
Hoffentlich hab ich jetzt ne tragfähige Lösung dastehen.
Nullo Problemo
Grüße aus Frankfurt am Main
Eric
––––––––––––––
MOD: Korrigiert nach Angabe des Autors.
OT: Scheinanwendungen
Hallo,
aaaaah solche Aufgaben sind einfach blöd, sinnlos und regen mich tierisch auf! Sorry, aber die einzig sinnvolle Antwort ist meines Erachtens: Die Dose bitte als Kugel bauen, dann braucht man am wenigsten Blech!
Was bringt es denn bitte, die Nettoblechmenge zu berechnen, ohne zu bedenken, dass man beim Deckelschneiden (rund!) eine ganze Menge Abfall haben wird, beim Seitenschneiden (rechteckig!) dagegen gar keinen. Außerdem braucht man doch verschiedene dicke Bleche und ja auch an den Seiten Überstände, um das Teil zusammenzukriegen.
Und die Form, die am Ende rauskommt ist womöglich sauunpraktisch und man kann nicht draus trinken. Und bei Dosen für Wiener Würstchen muss man dann die Würstchen abschneiden, damit die Dose perfekt ist oder was?
Außerdem hab ich noch nie ne Dose gesehen, die einen perfekten Zylinder darstellt. Schon mal ne Coladose gesehen? Oder Konservendosen, die sind doch so geriffelt…
Oh Mann, ihr seht, das ärgert mich echt, sowas =)
An den/die UP: Ich weiß, das ist nicht deine Schuld, ich wollte das nur mal loswerden und zu bedenken geben, deine Aufgabe wurde ja schon gelöst (auch wenn das meiner Meinung nach unter Hausaufgaben erledigen fällt, aber dafür findet sich ja hier leider doch immer wieder jemand, aber das ist wieder ein anderes Thema).
Viele liebe Grüße,
Nadine
Das Problem mit der (Cola) Dose
Halloo
Nach einiger Zeit des Grübelns denke ich fast, dass gleichgültig ob des Volumens,
Höhe (h) und
Radius ®
in einem bestimmten Verhältnis zu stehen haben,
sodass jeweils einem bestimmten Volumen(das wäre dann variabel)
einem Radius mit der dazugehörigen Höhe zugeordnet sind.
Vielleicht sollte man in diese Richtung zu denken beginnen
mfg Pepperl
Einen wunderschönen Sonntag-Nachmittag wünsche.
Danke ob des Hinweises, dass dieses Thema bereits gelöst wurde;
ich bitte um den Link.
Falls ich ein unstatthaftes Thema angezogen habe, melde dies doch bitte der Forumsleitung, sodass es aus dem Forum gelöscht wird und dich nicht unnötigt ärgert.
mfg 
Hallo Pepperl,
erstens: unstatthaft finde ich das Thema gar nicht, wollte nur meine Meinung dazu kundtun, weil solche Aufgaben mich schon lange ärgern, dachte, das wäre klar geworde, habe ja auch als OT gepostet und geschrieben, dass es nicht an dich gerichtet ist.
zweitens: gelöst hier: /t/das-problem-mit-der-cola-dose/6390393/2
Liebe Grüße,
Nadine
Hi,
das Fach ist aber immer noch Mathematik und nicht „Einführung in die Werkstoffkunde“. Wie soll denn deiner Meinung nach die Alternative aussehen?
Mich würde als Schüler die Aufgabe mit der Cola Dose mehr ansprechen, als wenn es um irgendeinen beliebigen Zylinder geht, dessen Oberfläche aus unbekanntem Grund minimiert werden soll.
Gruß
rantanplan
aaaaah solche Aufgaben sind einfach blöd, sinnlos und regen
mich tierisch auf! Sorry, aber die einzig sinnvolle Antwort
ist meines Erachtens: Die Dose bitte als Kugel bauen, dann
braucht man am wenigsten Blech!
Das Lagern wird dadurch aber umso schwieriger. Außerdem kann ich mir vorstellen, dass die Herstellung eines kugelförmigen Behälters energieaufwändiger bzw. umständlicher ist. Außerdem muss eine Öffnung eingebaut werden, die ich mir kaum gebogen vorstellen kann.
Was bringt es denn bitte, die Nettoblechmenge zu berechnen,
ohne zu bedenken, dass man beim Deckelschneiden (rund!) eine
ganze Menge Abfall haben wird, beim Seitenschneiden
(rechteckig!) dagegen gar keinen.
Eine Abschätzung.
Außerdem braucht man doch
verschiedene dicke Bleche und ja auch an den Seiten
Überstände, um das Teil zusammenzukriegen.
Von wegen Blechdicke! Die Aufgabe ist hochmodern, dort wurden bereits zweidimensionale Bleche erfunden. Oder die Dose ist aus Gold, das kann man ja einatomar zusammenpressen.
Und die Form, die am Ende rauskommt ist womöglich
sauunpraktisch und man kann nicht draus trinken. Und bei Dosen
für Wiener Würstchen muss man dann die Würstchen abschneiden,
damit die Dose perfekt ist oder was?
Die werden dann im Glas verkauft 
Außerdem hab ich noch nie ne Dose gesehen, die einen perfekten
Zylinder darstellt. Schon mal ne Coladose gesehen? Oder
Konservendosen, die sind doch so geriffelt…
Naja, die Aufgabe ist aber noch deutlich realistischer als manch andere. Mal wieder mein Lieblingsbeispiel aus Physik:
Ein 80kg schwerer Schlitten, der mit einem Spielzeugmotor angetrieben wird, fährt mit einer Geschwindigkeit von 300 m/s.
mfg,
Ché Netzer
Hallo,
Nach einiger Zeit des Grübelns denke ich fast, dass
gleichgültig ob des Volumens,
Höhe (h) und
Radius ®
in einem bestimmten Verhältnis zu stehen haben,
…
Vielleicht sollte man in diese Richtung zu denken beginnen
Logisch, sonst kann man das mit Schulmathematik (ca. 11. Klasse Gymnasium) nicht mehr lösen (das geht dann meist nur noch numerisch). Das ergibt sich aber schon automatisch dadurch, daß die Form eines Zylinders mit kreisförmiger Grundfläche vorgegeben ist.
BTW: man beachte auch, daß die Dosen (und Gläser) im Handel offensichtlich nicht mit dem Blick auf Oberflächenminimierung entwickelt wurden. Da spielt Design, Stabilität, Stapelbarkeit und Handling auch eine wesentliche Rolle.
Cu Rene
Hallo,
Naja, die Aufgabe ist aber noch deutlich realistischer als
manch andere. Mal wieder mein Lieblingsbeispiel aus Physik:
Ein 80kg schwerer Schlitten, der mit einem Spielzeugmotor
angetrieben wird, fährt mit einer Geschwindigkeit von 300 m/s.
Noch besser: Der punktförmige Affe klettert reibungsfrei (sic!) am masselosen Seil hoch.
mfg
Stellvertreterlein
Und natürlich im Vakuum und vermutlich weit entfernt von allen anderen Körpern. Außer, es soll die Gravitation der Erde berücksichtigt werden. Dann hängt am unteren Ende des Seils ein Punkt mit der Erdmasse.
Vermutlich ist der Affe noch mit exakt 1C geladen.
mfg,
Ché Netzer
Hai!
Das Lagern wird dadurch aber umso schwieriger. Außerdem kann
ich mir vorstellen, dass die Herstellung eines kugelförmigen
Behälters energieaufwändiger bzw. umständlicher ist. Außerdem
muss eine Öffnung eingebaut werden, die ich mir kaum gebogen
vorstellen kann.
Ehrlich?!
Die Aufgabe ist hochmodern, dort wurden
bereits zweidimensionale Bleche erfunden.
Ach so, das wusste ich noch nicht =)
Mal wieder mein Lieblingsbeispiel aus Physik:
Ein 80kg schwerer Schlitten, der mit einem Spielzeugmotor
angetrieben wird, fährt mit einer Geschwindigkeit von 300 m/s.
Hihi, Sternchen von mir für Che =)
Liebe Grüße!