Hallo!
Ich habe vergeblich versucht, im Internet was über den
quadratischen Mittelwert zu finden.
Kann mir bitte jemand sagen, was das ist?
Von Mathematik habe ich nur begrenzte Kenntnisse (Stand 12. Klasse)
Danke sehr
Als Amateurstatist(iker)
interessiert mich manchmal auch, wie groß (zB) bei den Schülern meiner Klasse) die „Streuung“, also die mittlere „Abweichung vom Durchschnitt/Mittelwert“ ist. Da kann ich natürlich nicht einfach die einzelen Abweichungen addieren und das Ergebis durch die Anzahl teilen. Denn die Summe aller Abweichungenen ist ja, bei richtiger Berechnung des Mittelwertes, gleich 0.
Also was machen?
Wenn man die Abnweichungen vor dem Summieren quadriert, so ist die Summe nicht mehr = 0, sondern schon ein Maß für die Streuung.
„Zum Ausgleich“ des Quadrierens muß man ja aber „irgendwie“ wieder Wurzelziehen.
Die „Maß-Eigenschaft“ muß dann noch „diskutiert“ werden, matheamtisch.
Ich hoffe, geholfen zu haben,
moin, manni
Ich glaube (als Fast-Profi-Statistikerin), dass es hier - analog zum arithmetischen, geometrischen oder harmonischen Mittel, -eher um den Mittelwert der Quadrate geht, also Sqrt(Summe(xi^2)/n) für i=1,…,n. Denn das was Du beschreibst, Manni, ist die Varianz bzw. Standardabweichung, die üblicherweise nicht Mittelwert genannt wird.
Bestätigt übrigens ein Blick in die Statistik-Formelsammlung der uni Freiburg:
www.forst.uni-freiburg.de/biometrie/Lehre/Studienmat… Downloads/stat_formelsammlung.pdf
(gefunden mit Google, Suchbegriff Quadratisches Mittel)
Grüße
Katharina
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Verbinden wir (uns) beide,
liebe Katharina:
Das „quadratische Mittel“ der Abweichungen führt zur „Standardabweichung“.
Was hat das „Quadratische Mittel“ (von was???) sonst für eine Bedeutung? Neben den von dir erwähnten andweren Mittelwerten (arithm., geom., harmon.).
Ist mir gerade selbst klargeworden, daß die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen etwas mit dem harmonischen Mittel der natürlichen Zahlen („bis n“) zu tun hat.
Hat der ursprüngliche Frage eine wirkliche Neugier?
Hallo Manni,
so gesehen natürlich ja - der Unterschied ist aber, dass bei der Varianz noch das arithmetische Mittel eingeht und beim quadratischen Mittel nicht. Oder anders: Varianz(x)=E(x^2)-E(x)^2; quadr. Mittel(x)=E(x^2). Wenn E(x)=0 (arithm. Mittel), dann deckt sich beides. So gesehen ist die Varianz/Stabw ein Sonderfall.
Bedeutung? Weiß ich nicht, evt. in der Physik. Man kann ja alle Mittelwerte als Lösungen eines ziemlich interessanten Extremwertproblems betrachten; da gibt’s eine allgemeine Formel, die ich aber erst nachschlagen muss (Statistik 1 ist schon so lange her…)
Nee, Interesse hat der Frager glaub’ ich nicht mehr.
Grüße
Katharina
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Quadratisches Mittel in der Physik
Hallo Katharina,
Bedeutung? Weiß ich nicht, evt. in der Physik.
der bekannteste quadratische Mittelwert in der Physik ist der sogenannte Effektivwert einer Wechselspannung.
Eine gewöhnliche Haushaltssteckdose hat „230 V“. Diese „230 V“ sind jedoch nicht der Maximalwert („Scheitelwert“), sondern der Effektivwert, der um den Faktor 1/2 Wurzel(2) kleiner ist. Oder anders rum: Das Spannungsmaximum beträgt Wurzel(2) * 230 V = ca. 325 V.
Die Motivation für den Effektivwert einer Wechselspannung ist die Frage, welche Stärke eine Gleich spannung haben muß, damit sie im zeitlichen Mittel an einem ohmschen Widerstand dieselbe Leistung erbringt wie die fragliche Wechselspannung. Antwort: Die Gleichspannung muß gerade so groß sein wie der Effektivwert der Wechselspannung.
Die Gleichspannung der Stärke Ueff erzeugt am Widerstand R die Leistung
PGleichsp. = Ueff2/R (1)
eine Wechselspannung u(t) momentan zum Zeitpunkt t
pWechselsp.(t) = u2(t)/R
und im zeitlichen Mittel
Wechselsp. = 1/T Integral[0…T] u2(t)/R dt (2)
Gleichsetzen der rechten Seiten von (1) und (2) liefert
Ueff2/R = 1/T Integral[0…T] u2(t)/R dt
woraus folgt:
Ueff = Wurzel(1/T Integral[0…T] u2(t) dt)
=das quadratische Mittel von u(t).
Dies ist die Definition des Effektivwertes einer Wechselspannung (mit beliebiger Kurvenform). Für sinusförmige Wechselspannungen ist Ueff = 1/2 Wurzel(2) UScheitel.
Mit freundlichem Gruß
Martin
(owt) Danke, da habe ich was Neues gelernt!
Verstehe es immer noch nicht!
Nachdem ich die erste Antwort auf meine Frage (einigermaßen) nachvollziehen konnte, bin ich nun doch etwas verwirrt.
Mein Lehrbuch der Lärmbekäpfung sagt:
P eff = p spitze / Wurzel 2 für einen Sinusförmigen Verlauf.
Wechselspannungen ist Ueff = 1/2 Wurzel(2)
Das ist aber nicht das, was Martin schreibt.
Weiterhin sagt das Buch:
p eff = Wurzel (1/T Integral von 0 bis T p*p dT) (T,t = Zeit)
(Sieht bisschen seltsam aus)
Und das nennen die den quadratischen Mittelwert.
So, verwirrt grüßend & dankend
Andreas
Hallo Andreas,
Nachdem ich die erste Antwort auf meine Frage (einigermaßen)
nachvollziehen konnte, bin ich nun doch etwas verwirrt.
Mein Lehrbuch der Lärmbekäpfung sagt:
P eff = p spitze / Wurzel 2 für einen Sinusförmigen Verlauf.
im Kontext „Lärmbekämpfung“ ist mit diesem „P“ bzw. „p“ der Schalldruck gemeint, d. h. dieses p bezeichnet keine Leistung , im Gegensatz zu dem P in meinem Posting (üblicherweise ist das Formelzeichen für die Leistung das „P“ (von engl. power), und das für den Druck das „p“ (von engl. pressure)).
Deine Gleichung
„P eff = p spitze / Wurzel 2“
entspricht meiner Gleichung
Ueff = 1/2 Wurzel(2) UMaximum
Weiterhin sagt das Buch:
p eff = Wurzel (1/T Integral von 0 bis T p*p dT) (T,t = Zeit)
(Sieht bisschen seltsam aus)
Und das nennen die den quadratischen Mittelwert.
Das ist doch dieselbe Definition wie ich sie angegeben habe (bloß mit U statt p), oder nicht?
Mit freundlichem Gruß
Martin