Hallo Roman,
Mit der Suprawurzel von x meine ich die Zahl y fuer die gilt:
y^y = x
Meine Frage war, ob man fuer die Gleichung
x^x = z mit (z € C) und (Def=C)
ein z finden koenne (ausser 0) damit die Gleichung keine
Loesung besäße. (z.b. x^x = i)
Da die allgemein Potenz über die Exponentialfunktion definiert ist, ist dies äquivalent zu
y^y = exp(y log y) = x.
Nehmen wir an, es gäbe eine Funktion W(z) mit der Eigenschaft
(*) W(z) exp[W(z)] = z.
Dann gilt für y := exp[W(log x)] die Gleichung
exp(y log y) = exp[exp(W(log x)) log y] =
= exp[exp(W(log x)) W(log x)] = [wg (*)] = exp[log x] = x,
d.h. so ein y würde die erste Gleichung tatsächlich lösen. Wegen der (*) Eigenschaft (und weil die Faktoren dort nicht Null sind) könnte man das y auch so schreiben:
y = log x / W(log x).
So eine Funktion W gibt es tatsächlich, da die Gleichung (*) bei gegebenem z ( nicht 0) unendlich viele Lösungen hat. Es handelt sich um die LambertW Funktion, zu der (ähnlich wie beim komplexen Logarithmus) sogar unendlich viele Zweige existieren. Die Antwort auf Deine Frage ist also: Es gibt immer Lösungen zu Deiner Gleichung.
Wenn Du ein bisschen googelst, sollten Dir genügend Seiten zu der Funktion angezeigt werden.
Und ob man es mit einer Gleichung der Form
x^^^^^…x = z
schaffen koenne
Deine Suprapotenz mit ganzen Exponenten leuchtet mir ein, glaube ich. Die Frage war vielmehr, was x^^x für reelle x sein soll. Sage mir z.B. was
(sqrt 2)^^(sqrt 2)
sein soll… (Wahrscheinlich muss man hier mit ganzen Wurzeln, also rationalen Supraexponenten approximieren. Ist die Approximation dann eindeutig, d.h. wohldefiniert? Nun, vermutlich erhält man eher wieder unendlich viele Zweige solcher Wurzeln. Oder gibt es vielleicht eine sinnvolle Darstellung mit Hilfe der LambertW-Funktion, von der es ja auch unendlich viele Zweige gibt. Wenn ich es richtig gesehen habe, hattest Du solche Exponenten oben im Gesprächsfaden noch nicht definiert - aber ich glaube nicht, dass dies zu unlösbaren Gleichungen führen würde…)
Wie auch immer, das Thema iterierter (ganzer) Wurzeln, d.h. was ist z.B. x in
x^^5 = x^(x^(x^(x^x) = 42,
oder auch für komplexe rechte Seiten, führt sicher wieder zu der besagten LambertW Funktion.
Ich denke allerdings, dass solche Funktionen, wie auch schon x^x, ganz C (bis auf die Null) „erreichen“ können, d.h. dass solche Gleichungen im Komplexen stets (zumindest numerisch) lösbar sein dürften.
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Kurzes Googeln führt zu etwa
http://users.forthnet.gr/ath/jgal/math/exponents3.html
Ich sehe gerade, dass Lemma 1 genau diese Frage behandelt. Die obige Vermutung wird dort bewiesen (und auch meine Rechnung von ganz oben wird auch durchgeführt - ich hätte sie mir also sparen können… tja…).
Viele Grüße,
Martin
