Folgendes Problem:
Gegeben ist ein Kreisabschnitt mit s = 32,5 cm und b = 45,5 cm. Gesucht
ist die Höhe h des Abschnitts oder der Radius r des Kreises.
Skizze: http://home.arcor.de/tobias_weh/kreis.jpg (Hinweis: b und s
wurden in der Skizze vertauscht)
Mit welchen Formeln kann ich die gesuchten Werte berechnen?
Vielen Dank schon mal im Voraus
Renate
Hallo Renate,
Gegeben ist ein Kreisabschnitt mit s = 32,5 cm und b = 45,5
cm. Gesucht
ist die Höhe h des Abschnitts oder der Radius r des Kreises.
Brauchst Du eine exakte Formel oder genügt ein Näherungsverfahren? Falls letzteres, würde ich folgendermassen vorgehen:
(r = Radius, alpha = Winkel [rad])
2 Gleichungen:
b = r \* alpha
s = 2 \* r \* sin(alpha/2)
Durch einsetzen der ersten Gleichung in die zweite erhalten wir
s = 2 \* (b / alpha) \* sin(alpha/2)
Damit sollte man mittels z.B. Newtonverfahren alpha berechnen können.
HTH,
Pürsti
Folgendes Problem:
Gegeben ist ein Kreisabschnitt mit s = 32,5 cm und b = 45,5
cm. Gesucht
ist die Höhe h des Abschnitts oder der Radius r des Kreises.
Guten Morgen, Renate!
… und auf sowas kommst Du mitten in der Nacht *g*
wie auch immer… bist Du sicher, dass es dafür nur EINE Lösung gibt?
Es ist jedenfalls kein Problem, ganz viele Kreisabschnitte zu zeichnen, die diese „S und B“ haben…
Es wird also auf eine Lösung hinauslaufen, in der sich „h“ mit „r“ ändert…
… oder sehe ich das falsch?
rechnende Grüsse
Ulli
Hallo!
Es ist jedenfalls kein Problem, ganz viele Kreisabschnitte zu
zeichnen, die diese „S und B“ haben…
Sicher?
Stell Dir mal einen Stab der Länge s vor und ein beliebig biegbares Blech der Länge b. Daraus darfst Du die den Kreisabschnitt basteln. Wie viele verschiedene Lösungen findest Du, bei denen das Blech einer Kreislinie folgt?
Bei der Lösung stoße ich auch (wie Peter) auf Gleichungen, in denen Alpha sowohl linear wie auch als Argument einer Winkelfunktion auftaucht. Und dann hilft meines Wissens nur noch ein Näherungsverfahren.
Michael
Hoi Michael!
Stell Dir mal einen Stab der Länge s vor und ein beliebig
biegbares Blech der Länge b.
vielleicht war es heute einfach noch ein wenig zu früh für mich 
Diesem Argument habe ich nix entgegenzusetzen!
*rotwerd*
… und dabei war mir das heute doch sooooo logisch !
ein * fürs Augenöffnen
sommerliche Grüsse
Ulli
Mit welchen Formeln kann ich die gesuchten Werte berechnen?
Vielen Dank schon mal im Voraus
Renate
hallo Renate…
die anderen haben dir bereits den ANsatz und das Newtonverfahren als möglichen Lösungsweg gezeigt… Eine weitere Möglichkeit mit demselbem Ansatz wäre die Taylorentwicklung für sin(x):
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5! … (bis zum 3. Glied)
deine Gleichung (dieselbe, die schon emein Vorgänger hergeleitet haben) ist: sin(b/2r)=s/2r mit der obigen Reihe (bis zum 2. glied z.B. und x=(b/2r)) ergibt sich für die linke Seite:
(b/2r)-(b/2r)^3/3!=s/2r
das aufgelöst nach r ergibt:
r=sqrt(b^3/[24*(b-s)])
das ergibt bereits relativ genaue Näherungen, auch für größere Winkel. Probier es einfach aus ! .
Wenn dus noch genauer haben willst, dann benutzt du einfach immer höhere sin-näherungen z.B. bis zum 5. Glied, oder 7. die Gleichungen werden dann sehr schnell aber sehr groß .
wenn was unklar ist: keine Hemmungen, frag .
Grüße, Tom.
ach nochwas: der Fehler steigt in etwa proportional zu b^2/r , wens interessiert. (mich hats interessiert, deswege hab ichs mal shcnell nachgerechnet. ).
Hallo,
cm. Gesucht
ist die Höhe h des Abschnitts oder der Radius r des Kreises.
Da „oder“ gesucht ist, erstmal eine Lösung, die den Radius liefert, wenn die Höhe h gegeben ist.
Du wendest einfach den Phytagoras an!
(r - h)^2 + (s/2)^2 = r^2
Nach Auflösen und sortiern erhältst Du:
r = h/2 + s^2/(8h)
Ich hoffe, keinen Fehler geamacht zu haben, da Du andere Bezeichnungen verwendest als ich normalerweise.
Ein STichwort: schau mal unter Sphärometerformel nach!
Diese Formel wird in der Industrie verwendet um Radien von Linsen, Kontaktlinsen usw. zu bestimmen.
Ein schönes WE
Gruß Volker
Sorry
ich hab Dein „oder“ vermutlich falsch interpretiert. Ich dachte, dass dann jeweils die andere Größe gegeben ist, aber warum sollte dann noch b auftauchen.
sorry
Gruß Volker
Also, auf son Zeug kommt nicht Renate, sondern ich, ich war nur gard
bei ihr und da haben wir ihren Account genutzt:
also die Formel von Pürsti versteh ich soweit, ich kann sie nur nich
lösen… Newton is mir zu Hoch…
Das näherungsverfahren reicht aber!
Wenn also jmd mit den gegebenen Werten h, r oder alpha berechnen
könnte, wär das echt toll.
Für die, die die Anwendung interessiert: Es geht darum, eine Harfe,
mit neuer (gebogener) Form zu bauen… die Skizze wäre dann die
Ansicht von Oben (oder Unten), die Saiten sollen an der Strecke b
(also dem gebogene Teil) befestigt werden, damit man große Akkorde
bequemer greifen kann, wenn allerdings h zu groß wird, nutz das ganze
nichts, daher diese Frage…
Folgendes Problem:
Gegeben ist ein Kreisabschnitt mit s = 32,5 cm und b = 45,5
cm. Gesucht
ist die Höhe h des Abschnitts oder der Radius r des Kreises.
…
Vielen Dank schon mal im Voraus
Renate
Hallo Renate,
Näherung nach Bronstein-Semendjajew für B aus h und s:
b = V a² + 16/3 h² (V ist Wurzel über alles)
nach etwas umformen komme ich dann auf
h = ( V 3*l² + 3*a² ) / 4, in Zahlen 24.2 cm. Könnte hinhauen.
Formeln schreiben ist doof hier, noch doofer als Programme.
Gruss Reinhard
hallo Tobias
mit meiner taylorreihe komme ich auf 17.37 (2. Ordnung), bzw 16.53 (3. Ordnung), ein bischen „nachoptimiert“ (durch rückeinsetzen in die originalgleichung, bekommt man 16.5754 heraus. was ziemlich exakt stimmt.
Grüße, Tom
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
h = ( V 3*l² + 3*a² ) / 4, in Zahlen 24.2 cm. Könnte hinhauen.
hallo Reinhard.
muss dihc enttäsuchen … kommt leider überhaupt nich hin… setz mal zurück in die Gleichung ein. Dann siehst dus.
meine näherungen sagen mir, daß der Wert bei 16.5754 liegt…
Grüße, Tom
dumme Frage…
Hoi nochmal…
hier noch eine mutige Behauptung…
kann ich nicht einfach ein Dreieck in den Kreisabschnitt reinlegen, um so an das maximale „h“ zu kommen?
Liege ich falsch, wenn ich davon ausgehe, dass ein Dreieck mit gleicher Hypothenuse und einer Kathete, die der halben Bogenlänge entspricht einfach höher ist, als die tatsächliche Höhe des Kreisabschnittes?
boah… war das jetzt verständlich???
wäre das jedenfalls ein Dreieck, dann wäre
h = 15,92 cm
und die Katheten jetzt zum Bogen „aufgeweitet“, muss die Höhe doch kleiner werden???
habe ich jetzt wieder einen „früher-Morgen-Blackout“???
skizzierende Grüsse
Ulli
Hallo!
Bezeichnen wir mit phi den halben Winkel des Kreissegments. (Gemessen im Bogenmaß). Dann haben wir zwei Gleichungen für zwei Unbekannte:
phi*r = b/2 und sin(phi) = s/2r
Wenn man die erste Gleichung nach r auflöst und in die zweite einsetzt, erhält man:
sin(phi) - s*phi/r = 0
Wir suchen also eine Nullstelle der Funktion
f(phi) = sin(phi) - s*phi/r
Das Newton-Verfahren basiert auf folgender Idee: Man schätzt eine Nullstelle und berechnet die Gerade, die die Funktion in diesem Punkt tangiert. Nun berechnet man den Schnittpunkt dieser Gerade mit der x-Achse (in unserem Fall mit der phi-Achse). Entweder stimmen beide Werte überein (dann hat man die Nullstelle gefunden) oder man wiederholt das Verfahren mit dem neuen Wert für phi.
In Formeln geht das so:
phi(n) = phi(n-1) - f[phi(n-1)]/f’[phi(n-1)]
(f’ ist die Ableitung von f)
Ich habe das mal in einer Excel-Tabelle gemacht. Bei einem Startwert von phi(0)=pi/4 spuckt Ecxel ab dem 12. Iterationsschritt Null als Funktionswert f(phi) aus. phi(n>11) beträgt 1,372589846. Daraus kann man r und h berechnen:
r = 16,57450699 cm
h = 13,3108002 cm
Der Spitzenwinkel beträgt 2phi = 157°. Es handelt sich also beinahe um einen Halbkreis.
Michael
P.S.: Das gibt eine ziemlich kleine Harfe, oder täusche ich mich?
Hallo Tom,
je später der Abend desto falscher die Gleichung. Es muss natürlich heissen h = ( V 3*l² - 3*a² ) / 4, mit dem Ergebnis ca. 13.7886.
Das lässt sich in die ursprüngliche Formel einsetzen und ist korrekt, was beweist, dass ich im 2. Anlauf richtig umgeformt habe, nicht aber, dass die ursprüngliche Näherungsformel richtig ist - ich habe das aber geometrisch überprüft (CAD), ist jedenfalls ungefähr richtig, allerdings ist das ganze viel näher am Halbkreis als in der Zeichnung.
Gruss Reinhard
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo,
ich habe in einem CAD-Programm über einer Grundlinie von 32.5 cm zwei Kreisbögen hochgezogen, einmal 13.8 cm hoch und einmal 16.2 cm hoch, das Programm sagt zu den Bogenlängen:
h = 13.8 b = 46.38
h = 16.2 b = 51.55
Das kannst du jetzt interpretieren wie du willst. Eine Näherung ist es so oder so.
Gruss Reinhard
Hallo!
…
r = 16,57450699 cm
h = 13,3108002 cm
Hallo Michael,
siehe mein Beitrag weiter unten - CAD. Ich habe deinen Wert auch verwendet, das CAD-Programm meldet als Bogenlänge 44.61. Da es für meinen Wert von 13.78 eine Bogenlänge von 46.38 errechnet hat, dürfte sich der tatsächliche Wert ziemlich genau zwischen unseren beiden befinden, etwa 13.5. Tom hat vielleicht statt der Höhe den Radius berechnet.
Gruss Reinhard
Hallo!
…
r = 16,57450699 cm
h = 13,3108002 cmHallo Michael,
siehe mein Beitrag weiter unten - CAD. Ich habe deinen Wert
auch verwendet, das CAD-Programm meldet als Bogenlänge 44.61.
Da es für meinen Wert von 13.78 eine Bogenlänge von 46.38
errechnet hat, dürfte sich der tatsächliche Wert ziemlich
genau zwischen unseren beiden befinden, etwa 13.5. Tom hat
vielleicht statt der Höhe den Radius berechnet.
Hallo Reinhard!
Na Bravo! Empirische Mathematik 
Es gilt (Pythagoras):
(s/2)² + (r-h)² = r²
Oder vereinfacht:
r = 1/2h * (h² + s²/4)
Das gibt für Deinen Wert von h=13,78 cm: r = 16,471 cm.
Der Winkel phi beträgt für sin(phi)=s/2r: phi = 1,4067 [rad].
Daraus folgt für die Bogenlänge b = 2 * phi * r = 46,34 cm.
Ich weiß nicht, was Dein CAD-Programm rechnet, aber das angezeigte Ergebnis ist jedenfalls falsch.
Die gleiche Proberechnung mit meinen Zahlenwerten ergibt genau die angegebene Bogenlänge.
Michael
Das gibt für Deinen Wert von h=13,78 cm: r = 16,471 cm.
Der Winkel phi beträgt für sin(phi)=s/2r: phi = 1,4067 [rad].
Daraus folgt für die Bogenlänge b = 2 * phi * r = 46,34 cm.Ich weiß nicht, was Dein CAD-Programm rechnet, aber das
angezeigte Ergebnis ist jedenfalls falsch.
Hallo, ganz so ist das nicht: die CAD-Werte waren h = 13.8, R = 16.47 und b = 46.38 - für eine Handzeichnung mit entsprechender Rundung nicht schlecht.
Allerdings hatte ich deinen Kreisbogen in der Eile an der falschen Stelle eingezeichnet, nach Berichtigung auf 13.3 ergibt sich b = 45.48. Das CAD-Programm ist also völlig i.O. und dein Wert der Richtige.
Gruss Reinhard