Addieren von Schwingungen
Hallo
Wie kann man die beiden harmonischen Schwingungen am einfachsten addieren (Bitte so ausführlich wie möglich)?
A,B: Amplitude
s1(t)=A*sin(wt+q)
s2(t)=B*sin(wt+p)
Vielen Dank im Voraus
Gruss Phil
Hi phil,
ich habe zwar wenig Ahnung von Mathe (nach drei Scheinen in zwei Semestern aufgegeben) aber das Problem erscheint mir ‚trivial‘.
s1(t)=A*sin(wt+q)
s2(t)=B*sin(wt+p)
s1(t)+s2(t)=A*sin(wt+q)+B*sin(wt+q)=
(A+B)*sin(wt+q)
Ciao
Uwe
s1(t)=A*sin(wt+q)
s2(t)=B*sin(wt+p)s1(t)+s2(t)=A*sin(wt+q)+B*sin(wt+q)=
(A+B)*sin(wt+q)
ich glaube, da hast du einen klitzekleinen Fehler drin; beim zweiten Summanden steht „p“ in der Klammer, kein „q“.
Addieren von Schwingungen
Hallo
Wie kann man die beiden harmonischen Schwingungen am
einfachsten addieren (Bitte so ausführlich wie möglich)?A,B: Amplitude
s1(t)=A*sin(wt+q)
s2(t)=B*sin(wt+p)
Ich weiss zwar nicht, ob es eine einfache Lösung gibt, meine ist mir jedenfalls zu schreibaufwendig, um sie hier komplett zu posten. Der Ansatz ist folgender:
Bei der Addition zweier Sinusschwingungen gleicher Frequenz entsteht eine Sinusschwingung mit dieser Frequenz. es gilt also
A*sin(wt+q) + B*sin(wt+p) = C*sin(wt+r)
Jetzt gilt es „nur“ noch die Werte für C und r zu berechnen. Das ist am einfachsten im Maximum der Summenfunktion. Dazu muß die Nullstelle der 1. Ableitung berechnet werden. Diese Nullstelle wird in die Summenfunktion eingesetzt und ich erhalte den Amplitudenwert C. Falls der negativ ist, habe ich das Minimum erwischt und ich muß nochmal pi addieren. Die Phasenverschiebung r ergibt sich aus der Differenz von pi/2 (Maximum der Sinusfunktion) und der Maximalstelle der Summenfunktion.
Jörg
P.S. Wenn ich mich nicht irre, müßte die Nullstelle wie folg aussehen:
wt = arctan((Acosp+Bcosq)/(Asinp+Bsinq))
Schau mal in den guten alten Bronstein, Kap. Trigonometrie:
sin(a) + sin(b) = 2 * sin((a+b)/2) * cos((a-b)/2)
Für a, b setzt Du Deine Winkel wt+p bzw. wt+q ein.
Geht natürlich auch einfacher, da die Frequenz deiner beiden Schwingungen gleich ist (nur unterschiedlich phasenverschoben), ergibt sich auch schon aus der Anschauung, dass du wieder eine „einfrequenzige“ Schwingung erhälst, die nicht ganz so kompliziert wie die obige Formel aussieht.
Gruss Stucki
Die Sache hat nur einen Schönheitsfehler: Die(se) Additionstheoreme gelten nur für Schwingungen gleicher Amplitude, was in der Fragestellung ja nicht der Fall ist. Die Sache ist nicht ganz so trivial.
Jörg
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Die Sache hat nur einen Schönheitsfehler: Die(se)
Additionstheoreme gelten nur für Schwingungen gleicher
Amplitude, was in der Fragestellung ja nicht der Fall ist. Die
Sache ist nicht ganz so trivial.
Ja, tut mir leid, habe ich übersehen …
Hi Oliver,
ich glaube, da hast du einen klitzekleinen Fehler drin; beim
zweiten Summanden steht „p“ in der Klammer, kein „q“.
Der Fehler ist zwar klitzeklein, hat aber so große Auswirkungen, daß die Aufgabe meine Fähigkeiten doch überfordert 
Ciao
Uwe
Wie kann man die beiden harmonischen Schwingungen am
einfachsten addieren (Bitte so ausführlich wie möglich)?A,B: Amplitude
s1(t)=A*sin(wt+q)
s2(t)=B*sin(wt+p)
Da beide Schwingungen die gleiche Frequenz w haben (aber unterschiedliche Phasenverschiebung), ist das ganz klar ein Fall für komplexe Rechnung.
Ausführlich steht das in jedem Buch, das die Grundlagen der Wechselstromrechnung behandelt. Gerade weil es die Berechnung enorm vereinfacht, ist es so weit verbreitet.
Gruß
Stefan
Da hilft nur die komplexe Rechnung:
Die Euler-Formel lautet
exp(i*p) = cos p + i*sin p ,mit i = wurzel(-1)
Ich nehme der Einfachheit halber die Schwingungen
A*cos(wt+p)
B*cos(wt+q)
Die sind in komplexer Schreibweise die Realteile von
A*exp(i(wt+p))
und
B*exp(i(wt+q))
(nach der Eulerschen Formel)
Also addieren wir das ganze
F = A*exp(i(wt+p)) + B*exp(i(wt+q))
Potenzgesetze:
F = (A*exp(ip) + B*exp(iq)) * exp(iwt)
Der Term in Klammer beinhaltet somit Betrag und Phase
Gruß
Da hilft nur die komplexe Rechnung:
Die Euler-Formel lautet
exp(i*p) = cos p + i*sin p ,mit i = wurzel(-1)Ich nehme der Einfachheit halber die Schwingungen
A*cos(wt+p)
B*cos(wt+q)
Die sind in komplexer Schreibweise die Realteile von
A*exp(i(wt+p))
und
B*exp(i(wt+q))
(nach der Eulerschen Formel)
Also addieren wir das ganzeF = A*exp(i(wt+p)) + B*exp(i(wt+q))
Potenzgesetze:
F = (A*exp(ip) + B*exp(iq)) * exp(iwt)Der Term in Klammer beinhaltet somit Betrag und Phase
Das sagt sich so leicht. Denn hier geht das Rechnen erst richtig los. Jetzt müssen Real- und Imaginärteil des Phasenterms addiert werden. Dazu muß der Term wieder in die Normalform ( sin, cos ) zurückgeführt werden. Der Betrag ( Amplitude ) ist dann die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Anteile. Die Phase ergibt sich dann als arctan(Im/Re), wenn ich mich recht entsinne. Ist das dann wirklich noch einfacher als die Berechnung im Reellen ? Zumal die komplexe Rechnung ja nicht Jedermanns Sache ist.
Jörg
Das sagt sich so leicht. Denn hier geht das Rechnen erst
richtig los. Jetzt müssen Real- und Imaginärteil des
Phasenterms addiert werden. Dazu muß der Term wieder in die
Normalform ( sin, cos ) zurückgeführt werden. Der Betrag (
Amplitude ) ist dann die Wurzel aus der Summe der Quadrate der
Anteile. Die Phase ergibt sich dann als arctan(Im/Re), wenn
ich mich recht entsinne. Ist das dann wirklich noch einfacher
als die Berechnung im Reellen ? Zumal die komplexe Rechnung ja
nicht Jedermanns Sache ist.Jörg
Du hast schon recht.
Meiner Meinung nach ist das auf jeden Fall einfacher als mit den Additionstheoremen zu arbeiten.
Ausserdem können ja die meisten Taschenrechner (oder PC-Programme) sowieso komplex rechnen. Da ist das dann nur ein einfacher Schritt.
Die komplexe Rechnung ist sicher einfacher und eher „straight forward“ als Trigonometrische Funktionen. Man muss nur die Euler-Formel und die Potenzgesetze beherrschen.
Gruß
Herzlichen Dank an alle; Gruss Phil
Herzlichen Dank an alle; Gruss Phil