Gegeben ist der Vektor A und eine orthonormale rechtshändige Basis ex, ey, ez.
Der Vektor entsteht durch (rechtshändige Drehungen):
A: Drehung um ez um 30°, Drehung um ex um 90°.
Wie berechne ich die Darstellung von A?
Gibt es für so was eine Art Rezept?
CU
Thomas
Hi Thomas,
ich bin kein großer Freund von Rezepten, sondern bevorzuge das Verständnis der Materie. Mal sehen, ob ich Dir helfen kann, weil ich nicht sicher bin, ob ich Deine Frage richtig verstehe.
Wie die Drehung eines Vektors im mathematisch positiven Sinne funktioniert kannst Du Dir am besten im Zweidimensionalen anschauen. Der Vektor (x,y) wird durch Multiplikation mit der Matrix
A =
|cos§ -sin§|
|sin§ cos§|
um den Winkel p im positiven Sinne gedreht. Im Dreidimensionalen sehen die Drehungen im die Koordinatenachsen dann folgendermaßen aus:
Drehung um die x-Achse:
|1 0 0|
|0 cos§ -sin§|
|0 sin§ cos§|
Drehung um die y-Achse:
|cos§ 0 -sin§|
|0 1 0|
|sin§ 0 cos§|
Drehung um die z-Achse:
|cos§ -sin§ 0|
|0 0 1|
|sin§ cos§ 0|
In Deinem Fall also:
30°-Drehung um z-Achse:
D1=
|cos(30°) -sin(30°) 0|
|0 0 1|
|sin(30°) cos(30°) 0|
90°-Drehung um die x-Achse:
D2=
|1 0 0|
|0 cos(90°) -sin(90°)|
|0 sin(90°) cos(90°)|
Wenn Du beide Matrizen miteinander multiplizierst, so hast Du die Matrix, welche beide Drehungen nacheinander ausführt. Du mußt dazu nur einen beliebigen Vektor von rechts mit der Matrix multiplizieren.
Jetzt mußt Du den gegebenen Vektor noch bezüglich der gegebenen Basis darstellen. Die Matrix
GK=
[ex,ey,ez],
deren Spalten also die gegebenen Basisvektoren enthalten, transformiert einen Vektor vom gegebenen System in das kartesische System. Die Rücktransformation wird von der inversen Matrix ausgeführt, welche, da die Matrix orthonormal ist, mit der Transponierten übereinstimmt.
Insgesamt erhälst Du den gedrehten Vektor A’ also durch die Vorschrift:
A’=GK D2 D1 GK^T A
Von hinten gelesen also:
GK^T A ist der Vektor A bezüglich der neuen Basis,
D1 GK^T A ist dieser nach der Drehung um z,
D2 D1 GK^T A ist dieser nach beiden Drehungen
GK D2 D1 GK^T A ist das ins kartesische System zurücktransformierte Ergebnis.
Achtung: Die endliche Drehung hat KEINEN Vektorcharakter. Es kommt daher auf die Reihenfolge der Drehungen an! Mathematisch gesehen bilden die entsprechenden Matrizen keinen Vektorraum, sondern einen nichtkommutativen Ring mit Eins.
Ich hoffe, das war, was du gebraucht hast.
Gruß
Ted
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Ist die Drehung um die z-Achse richtig?
Drehung um die z-Achse:
|cos§ -sin§ 0|
|0 0 1|
|sin§ cos§ 0|
Oder sieht sie so aus?
| cos alpha sin alpha 0 |
Az = | -sin alpha cos alpha 0 |
| 0 0 1 |
Vielen Dank für die erste Antwort!
Thomas
Hi again!
Typischer Copy & Paste - Error! Meine Variante war eindeutig falsch!
Gruß
Ted
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