Dreieckesberechnung

Wissenschaft Mathematik
#20

Da die Versuche, Lösungsgleichungen über die Flächeninhalte zu finden, zu Gleichungssystemen führte, die nicht unahöngig sind, hab ich es noch einmal über die Ähnlichkeiten der Dreiecke gemacht. was dann zur Lösung führt:

Zur Bezeichnung der benutzten Strecken hab ich die Ziichnung von @X_Strom vervollständigt:

dreieck 3
dreieck 31524×852 284 KB

Folgende Dreiecke sind ähnlich:
BDC
BZD
DZC

es gilt:

x / y = (5 + p) / h = h / q
Mit h = 3 folgt

(1) x / y = (5 + p) / 3 = 3 / q

Daraus:
(2) q * (5+p) = 9

Der Winkelhalbierenden-Satz ergibt:

(3) x / y = 5 / (p + q)

(1) und (3) ⇒

5 / (p + q) = 3 / q

⇒

(4) q = 3p / 2

(2) und (4) ⇒

3p / 2 * (5 + p) = 9

p² + 5p - 6 = 0

mit der Lösungmenge p = {-6 | 1}, wobei p = 1 hier relevant ist.

Mit (2) ⇒ q = 3 / 2

Also

z = q + p = 2,5
und somit die Lösung

[ECD] = h * z / 2 = 3,75

Zur Probe:

Es gilt ja [ECD] = [BDC] - [BED]

[BDC] = (5 + z) * h / 2 = (5 + 2,5) * 3 / 2 = 11,25
[BED] = 5 * h / 2 = 7,5
[BDC] - [BED] = 3,75 = [ECD] q.e.d.

Gruß
Metapher

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#21

addendum

es folgt btw. tan α = 0,5 und somit α = 26.566°

#22

Irgendwie hab Ich den Punkt links unten anfangs mit A bezeichnet. Ich meine natürlich die ganze Zeit B!

Aber ist doch schön, daß sich die Werte mit den berechneten von @Metapher decken!

#23

Kein Prob, denn es war leicht zu erkennen. Du hast aber letztlich die Aufgabenstellung als solche lediglich mit einer anderen Methode rekonstruiert - allerdings mit einer sehr interessanten Idee: Thaleskreis über E und U (= Umkreis EBU) und dann dazu den Sehnensatz.

Daraus ist erkennbar, daß das Dreieck BED aus den zwei Größen BE und h eindeutig bestimmt ist, wenn die dritte Bedingung hinzukommt, daß D auf dem Umkreis von Dreieck BEU liegend soll (das ist identisch mit der Angabe des Winkels 45° bei D). Damit ist dann auch BCD bestimmt und folglich auch ECD. Das war aber eh aus der Aufgabenstellung klar. Deshalb musste es eine Lösung geben.

Aber daß der Flächeninhalt [ECD] und auch α mit der Lösung übereinstimmt, ist nicht verwunderlich. Du hast ja lediglich die Konstruktion wiederholt. Dein Programm hat aber die Lösung nicht aus der geometrischen Konstrultion direkt entnommen, sondern mutmaßlich aus den Koordinaten der Punkte berechnet.

Gruß
Metapher

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#24

Korrekt.

Und natürlich ist gefordert, die Fläche aus der gegebenen geometrie zu berechnen, aber wenn man numerisch schonmal die Werte zum Vergleich hat, ist das ja auch nicht verkehrt.

Übrigens, „mein“ Programm ist Geogebra, mittlerweile eine Webanwendung: www.geogebra.org . Damit kann man sowas gut konstruieren, und es sieht auch noch wunderschön aus.

#25

Bereits notiert. Danke dir für den Tip!

#26

hallo Metapher
habe die Sachen ausgedruckt und werde sie mir genüsslich ansehen, um endlich die Lösung zu haben.

danke für den Einsatz
LG Ralf

#27

gehe ich gerne Morgen dran.

LG Ralf

ps

aus der schönen Welt der harmonischen Dreiecke habe ich noch nachfolgende Gute-Nacht -Geschichte

Dreieck spitz
Dreieck spitz3072×4096 1.95 MB

mehr denn Morgen.

dann sage ich dir gerne, woher ich die ganzen Sachen habe. ist keine geheimdienstliche Angelegenheit.(lächel)
da gibt es mehrere von diesen „perversen“ Matheaufgaben, aber die letzte von dir gelösten Aufgabe hat ja nun den Vogel abgeschossen, oder???

#28

hurra, endlich eine Lösung.
hab’s ausgedruckt und angeheftet.

lg ralf
ps: könntest du mir freundlicherweise noch herleiten, wie du auf (4) q=3p/2 gekommen bist. . .
Danke

#29

kennst du eine Alternative zu math 42.
math 42 war zum Gleichungen lösen prima, leider sind die weg bzw kostenpflichtig 10 Mäuse/mtl.
Die spinne wohl . . .

#30

Wozu, willst du das später als Buch herausgeben?

#31

sehr gut von dir, plausible Zeichnung.
prima und danke
Ralf

#32

Nöö
ich rechne halt gerne und sammeel seit geraumer Zeit Geo Zeichnungen.
z Bsp rechne ich auch gerne die Aufgaben in Zahlenjagd.at durch.

altueller Favorit als Aufgabensteller ist #Maths-Rocket.
hab ich in Facebook aufgetrieben

Dreieck mit Winkel x
#33

das macht mein Mann zwar auch, aber ich verstehe nicht, wozu man solche Zeichnungen sammelt. :slight_smile: Wenn die Aufgabe gelöst ist, ist gut, abhaken und nächste nehmen!

#34

mach ich auch so, nur einige wenige Beispiele sind so gut, dass es sich lohnt, auch später mal draufzusehen.
so wie andere sich ihr Fotoalbum zur Gemüte führen. it’s crazy - ich weiss, aber was soll’s

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#35

Die Propotionalität der ähnlichen Dreiecke ergibt ja

(1) x / y = 3 / q

Der Winkelhalbierenden-Satz ergibt:

(3) x / y = 5 / (p + q)

Aus (1) und (3) folgt:

5 / (p + q) = 3 / q

Das löst du nach q auf:

5q = 3(p + q)´
2q = 3p

Also
(4) q = 3p / 2

Gruß
Metapher

#36

Danke für die prompte Antwort.

Ralf
bist du Lehrer oder allgemein im pädagogischen Beruf tätig?
Eine Erklärung mit q.e.d abzuschließen, läßt vermuten, dass da ein Profi sein Wesen treibt . . .

#37

Was @sweber macht, ist im Grunde die elegante (und btw. einzig mögliche) Lösung für

„Konstruiere ein Dreieck aus c, hc und ∠ γ“

Im Dreieck BED ist
c = BE = 5
hc = h = 3
∠ γ = 45°

Gruß
Metapher

#38

ja, stimmt.
der ganze Aufwand reduziert sich darauf. auf die Konstruktion eines Dreieck aus c, hc und ∠ γ“.

und das hat mit schlaflose Nächte bereitet.(lächel)

#39

Danke für diesen Hinweis - das hatte ich übersehen. Hätte sonst nicht so schnell aufgesteckt …
Gruß Ralf