Es scheint in dem von Dir hier eingefügten Bild um einen vollkommen anderen Sachverhalt gegangen sein. Ist aber auch egal. Die von Dir vorgelegte Mahnung spricht gegen regelmäßige Pflegekosten, da es sich um höchst unterschiedliche Beträge handelt, die auch von der Höhe her nicht auf die üblichen regelmäßigen Pflegekosten passen. Auch wenn die Rechnung von einem Pflegeheim kommt, kann dieses durchaus auch jede Menge Dinge in Abrechnung bringen, die nichts mit unmittelbaren Pflegekosten zu tun haben. Davon würde ich hier ausgehen. Und daher gehe ich davon aus, dass die ganz normal ins Erbe fallen.
BTW: Es ist vollkommen üblich und keineswegs „schwammig“, dass Mahnungen nur die diversen offenen Rechnungen aufführen, nicht aber die in den einzelnen Rechnungen abgerechneten Positionen erneut nennen. Das können ja je nachdem eine ganze Menge Einzelpositionen sein, und wenn man mahnt geht man natürlich davon aus, dass dem Schuldner die detaillierten Rechnungen ohnehin vorliegen. Kann im Einzelfall anders sein, wenn Du die Rechnungen nicht im Nachlass gefunden hast, aber Ausnahmen bestätigen bekanntermaßen die Regel. Insoweit führt kein Weg daran vorbei Rechnungskopien anzufordern um zu sehen, was mit diesen Rechnungen jeweils konkret abgerechnet worden ist, und inwieweit ggf. diesbezüglich ggf. auch noch Erstattungsansprüche gegen Versicherungen bestehen könnten, die Du dann geltend machen kannst, um Dir das Geld wiederzuholen.