Hallo zusammen!
Manchmal begegnet man völlig unerwartet interessanten Aufgaben aus den Bereichen Mathematik oder Physik. Das kann einem sogar bei Geocaching passieren: Dort sind gelegentlich nicht bloß die Koordinaten eines zu suchenden Döschens angegeben, sondern sie oder einige Stellen von ihnen müssen erst mal mit mehr oder weniger schwierigen Aufgaben berechnet werden.
Eine solche Aufgabe ist z. B. beim Geocache http://coord.info/GC224FW gegeben:
Eine Kugel wird (weil nur 2D-Aufgabe) auf zwei andere gestapelt, und damit das Ganze nicht auseinander rollt, soll der Winkel alpha der Keile unter den Kugeln berechnet werden. Alle Kugeln haben das Gewicht G; das Ganze ohne Berücksichtigung von Reibung und Rollwiderständen.
Für Mathematiker ist die Aufgabe damit klar, für Physiker und Ingenieure wird sie erträglicher (weil statisch stabiler), wenn man sich nicht Kugeln, sondern Querschnitte von zylindrischen Stäben, Rohren oder vollen Bierflaschen (*gg*) vorstellt.
Die Lösung der Aufgabe kann hier offen diskutiert werden, da der o. g. Geocache inzwischen archiviert ist und außerdem im www sowieso mindestens eine Lösung (z. B. http://www.matheboard.de/archive/414052/thread.html ) existiert.
Meine Frage ist nun, ob diese Lösung (die übrigens zu den richtigen Koordinaten führt) tatsächlich stimmt.
Lösungsidee: Man „geht“ zum Berührpunkt zwischen oberer Kugel und einer der unteren Kugeln, ermittelt dort die waagerechten Kräfte und setzt sie gleich. Wegen der Symmetrie muss man nur eine Hälfte der Anordnung betrachten.
Meine Berechnung:
Obere Kugel: F1 = (1/2) * G / tan(60°) = G / (2 * Wurzel(3) )
Untere Kugel: F2 = G * tan(alpha)
Gleichsetzen: G / (2 * Wurzel(3) )= G * tan(alpha)
1/ (2 * Wurzel(3) ) = tan(alpha)
alpha = arctan( 1 / (2 * Wurzel(3)) ) = 16,102°
In der Lösung bei www.matheboard taucht aber als Ergebnis arctan( 1 / (3 * Wurzel(3)) ) auf,
wobei dort 1 / ( 3*Wurzel(3) ) als Wurzel(3)/9 geschrieben ist.
Damit wird dann alpha = arctan( 1 / (3 * Wurzel(3)) ) =10,8934°
Letztliche Frage: Ist die 3 in der „Muster“lösung richtig, oder ist die 2 bei mir richtig?
Schöne Grüße
JK
