Signifikante Stellen

Hallo,
Ich gerate immer wieder in Verwirrung über die Sache mit der Angabe von signifikanten Stellen aus Messungen / Rechnungen, und habe grade beschlossen, da jetz endlich dahinterzusteigen *g*

Also, erstmal: Sehe ich das richtig, dass die signifikanten Stellen erst ab dem Komma gezählt werden? Also, 3,45 und 1275,87 sind gleich genau?
Jaa, was ist denn dann aber, wenn ich Einheit verändere? 1275,87 m sind doch nicht ungenauer als 1,27587 km?
Oder doch ohne Komma gezählt?
Dann aber, zweitstmal: Ab wo Stellen zählen? Also, 0,0003 hat nach meinem Verständnis eine signifikante Stelle. Aber 2000? Wenn ich die Nullen ungenauigkeitsanzeigenderweise garnicht weglassen könnte, weil das das Komma verrutschen würde?
Sorry für die blöde Frage, in allen meinen paar Büchern steht das ziemlich uneindeutig…
Viele Grüße,
Amoeba

Hallo,

Also, erstmal: Sehe ich das richtig, dass die signifikanten
Stellen erst ab dem Komma gezählt werden? Also, 3,45 und
1275,87 sind gleich genau?

Nein. Alle Stellen zählen, außer führender Nullen:
12,3
1,23
0,123
0,0123
Alle haben 3 sig. Stellen.

Jaa, was ist denn dann aber, wenn ich Einheit verändere?
1275,87 m sind doch nicht ungenauer als 1,27587 km?
Oder doch ohne Komma gezählt?

Eben :wink:

Dann aber, zweitstmal: Ab wo Stellen zählen? Also, 0,0003 hat
nach meinem Verständnis eine signifikante Stelle. Aber 2000?

2000 hat 4 signifikante Stellen. Wenn man „2000 mit einer signifikanten Stelle“ meint, schreibt man 2*10^4.

Nullen hinter dem Komma zählen:
2,0: zwei Stellen
2,00: drei Stellen etc.
2,00*10^4: auch drei Stellen.

Ist es jetzt etwas klarer?

Grüße,
Moritz

Moin,

Ich gerate immer wieder in Verwirrung über die Sache mit der
Angabe von signifikanten Stellen aus Messungen / Rechnungen,
und habe grade beschlossen, da jetz endlich dahinterzusteigen

Signifikant heißt übersetzt sowas wie bedeutsam.

Signifikante Stellen bezieht alle Stellen, auch die vor einem Komma ein. Die Angabe, Deutschland besitze 82000000 Einwohner hat bspw. auch nur zwei signifikante Stellen. Somit ist es folglich vollkommen unerheblich in welchen Einheiten ich ein Ergebnis ausdrücke:
Die Aussagen „es fließt ein Strom von 0,35A“ ist äquivalent zu „es fließt ein Strom von 350mA“ - beide haben auch hier zwei signifikante Stellen.

Bei Angaben von „im Schnitt 2000 Menschen passieren täglich dieses Tor“ muß man ggf. durch die Angabe eines Fehlers deutlich machen wie genau das Ergebnis ist (sonst würde man hier eine signifikante Stelle vermuten). „2000 +/- 5 Menschen gehen täglich durch dieses Tor“ ist natürlich dann auf vier Stellen genau, da sich im Prinzip nur die letzte Stelle um ein wenig ändern kann. Genauso ist die Angabe „die Strecke ist 112324m lang“ nur auf vier Stellen genau, hat eine Signifikanz von 4 Stellen, wenn sie mit einem normalen Tachometer vom Auto bestimmt wurde, welches nur die erste Nachkommastelle der Kilometerangaben mißt. Die anderen beiden Stellen sind quasi Vortäuschen einer Genauigkeit, die gar nicht existiert.

Bei Größen, diem an aus anderen Größen errechnet, ist trägt das Ergebnis maximal so viele signifikante Stellen wie diejenige Größe mit der geringsten Anzahl signifikanter Stellen in die Rechnung eingeht.

Gruß,
Ingo

Moin,

2000 hat 4 signifikante Stellen. Wenn man „2000 mit einer
signifikanten Stelle“ meint, schreibt man 2*10^4.

2*10^3 wäre die besser Schreibweise, wenn man 2000 meint :smile:

Gruß,
Ingo

Hallo,

leider ist das so nicht richtig, was man am Beispiel 350 mA schon deutlich sehen kann: mein Amperemeter würde auch 349 oder 351 mA anzeigen, also sind 3 Stellen sigifikant!

Es führt überhaupt völlig in die Irre, die Zahl selbst heranzuziehen, massgebend ist ausschliesslich die Messgenauigkeit laut Datenblatt. Mein Digitalvoltmeter zeigt 6 Stellen an, im DC-Bereich ist die Anzeige laut Handbuch auf 5 Stellen genau. Zeigt das Gerät 0,00000 V an, so sind von den 6 Nullen 5 signifikant - alles andere ist Blödsinn.

Nach den bisher hier angeführten Definitionen gäbe es ja keinen genauen Nullpunkt, weil beim Wert Null nichts signifikant wäre, oder anders gesagt, der Messfehler bei gleichem Messgerät wäre danach bei einem Wert von 0,000 mehr als tausendmal so gross als bei einem Wert von 1,111 - das ist natürlich völlig absurd. Und wenn ich ein Netzteil genau abgleiche und die Anzeige wechselt von 4,999 V auf 5,000 V - habe ich dann plötzlich innerhalb einer Millisekunde einen tausendmal so grossen Fehler? Dann müsste ich ja schnell auf 4,999 V zurückdrehen…

Gruss Reinhard

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Hallo,

Reinhard hat es schon geschrieben, und ich möchte ihn hier unterstützen und erklären:

Signifikante Stellen sind Stellen, deren Ziffern sicher eine Eigenschaft der gemessenen/berechneten Größe angeben und nicht durch statistische (Meß-, Ablese- usw.)Fehler bedingt sind. Wie genau die Messung/Zählung usw. nun war, geht aber nur aus der Angabe einer Zahl nicht hervor.

Ohne explizite Angabe der Meß(un-)genauigkeit ist die Zahl signifikanter Stellen einer Zahl nicht eindeutig. Das ist insbesondere dann der Fall, wenn die letzte(n) Stelle(n) Null ist/sind, und zwar egal, ob vor oder hinter dem Komma.

Ein Wert von 1234 impliziert 4 signifikante Stellen, 1230 impliziert 3 signifikante Stellen. Im zweiten Fall könnte es aber auch sein, die letzte Null ist tatsächlich fehlerfrei gemessen, dann hätte diese Zahl natürlich auch 4 sig. Stellen. Bei einer Zahl wie 2000 ist nur klar, dass sie mindestens eine sig. Stelle hat. Sie könnte aber auch 2, 3 oder 4 haben. Schreibt man 2000,0 so impliziert das 5 sig. Stellen.

Bei Zahlen, die kleiner sind als Null, ist die erste (höchte) Stelle mit einer von Null abweichenden Ziffer die erste sig. Stelle. Beispiel: 0,0001 hat eine signifikante Stelle, 0,01 auch. 0,0012 hat 2 sig. Stellen. 0,00100 impliziert 3 sig. Stellen, hier ist aber wieder das Problem der uneindeutigkeit (wie bei 2000).

Fazit: Zahlen IMMER mit Meßfehler/-genauigkeit angeben. Diese Angabe definiert die Zahl der sig. Stellen. Beispiel:

0.00353 (+/- 0.2) hat eine sig. Stelle, und die Größenordnung der höchstwertigen sig. Stelle ist 10-1 (wegen der relativ großen Meßungenauigkeit.

12,34 (+/- 0,0004) hat 6 sig. Stellen. Die höchstwertigen sig. Stelle ist 101, nie niederwertigste ist 10-4.

Beide Angaben sind „aus didaktischen Gründen“ so gewählt und sind so natürlich „unüblich“. Real würde man schreiben: 0 (+/- 0.2) und 12,3400 (+/- 0,0004).

Die Verrechnung von Angaben mit sig. Stellen ist im Falle der Addition und Subtraktion trivial. Dem Ergebnis wird als niederwertigste sig. Stelle die höchstwertige der Fehler zugesprochen.

Beispiel:

 1,23 (+/- 0.05)
 +123,4 (+/- 0.5)
 +0,00023 (+/- 0.0001)
----------------------------
 123,63023 (+/- 0.5)

Das Ergebnis ist also 123,6 mit 4 sig. Stellen (höchstwertige: 102>/sup>, niederwertigste: 10-1).

Bei der Multiplikation und Division ist die Sache etwas komplizierter. Hier muß man über die relative Genauigkeit der Zahlen gehen. Das Ergebnis sollte eine relative Genauigkeit haben, die nicht größer ist als die geringste relative Genauigkeit der Faktoren.

Die relative Genauigkeit berechnet sich als „niederwertigste sig. Stelle. geteiltdurch Wert“. Beispiel: 0,032 (+/- 0,004); die niederwertigste Stelle ist 10-3; rel. Genauigkeit = 10-3 / 0,032 = 0,03125 = 3%

Jetzt für eine Multiplikation:

0,032 (+/- 0,004) * 0,00460 (+/- 0,00003)

Die rel. Genauigkeiten sind 3% und 0.2%. Das Produkt ist 0,0001472. Die rel. Genauigkeit dieses Produkts ist 0.07%, also viel zu genau. 0,000147 hat 0.7% rel. Genauigkeit - immer noch zu Genau. 0,00015 hat eine rel. Genauigkeit von knapp 7% und ist damit nicht mehr besser als die schlechteste rel. Genauigkeit der Faktoren (3%).

Das Ergebnis ist also

0,00015 (+/- 0,00001)

So, abschließend bleibt noch zu sagen, dass ein letzter Funke Uneindeutigkeit bleibt. Manche Leute interpretieren die Angabe 0.2 (+/- 0.01) so, dass 10-1 die niederwertigste sig. Stelle ist (weil sie keinen Meßfehler beinhaltet), andere sehen 10-2 als solche (weil die die Grenze der Meßsicherheit angibt). Einen allgemeinen Konsens darüber gibt es meines Wissens nicht. Jedoch sind die Unterschiede IMHO nicht bedeutend. Wenn man sich mal grob Gedanken darüber macht, liegt man nicht der Versuchung auf, viel zu viele Stellen anzugeben. Alleine das ist schonmal ein großer Gewinn für die Lesbarkeit und Interpretierbarkeit von Ergebnissen. Alles weitere ist akademische Selbstbefriedigung.

LG
Jochen

Moin,

leider ist das so nicht richtig, was man am Beispiel 350 mA
schon deutlich sehen kann: mein Amperemeter würde auch 349
oder 351 mA anzeigen, also sind 3 Stellen sigifikant!

Ja eben nicht. Weil die letzte Stelle nicht wirklich bestimmt ist, ist sie auch nicht signifikant! Wenn natürlich mein Amperemeter wirklich die drei Stellen mißt (auf 1mA genau), dann stimme ich Dir zu. Aber wenn ich einfach so eine Angabe von 350 mA bekomme, so ist i.A. die Aussage, daß das auf 10mA genau ist, es auch 354 oder 345 mA sein können - es sei denn, es kommt eine Fehlertoleranz dazu, die angibt, daß es genauer ist. Wenn ich eine Angabe von 350 +/- 5 habe, kann ich mich drüber streiten, ob ich’s zwei oder drei Stellen Genauigkeit nennen will. M.E. ist die letzte Stelle in einem solchen Fall ohne Aussagekraft.

Es führt überhaupt völlig in die Irre, die Zahl selbst
heranzuziehen, massgebend ist ausschliesslich die
Messgenauigkeit laut Datenblatt.

Eben! Aber da hier überhaupt keine Referenz zu irgendwelchen Meßgeräten war, ist ein potentielles Datenblatt vollkommen unerheblich. Man hat hier nur die dahingeschriebene Zahl.
Da ich ohne Angabe einer Meßgenauigkeit über diese nichts aussagen kann, ist die letzte Stelle an die ich mich halten kann, diejenige, auf die offensichtlich gerundet wurde - die 10er mA - Stelle.

signifikant wäre, oder anders gesagt, der Messfehler bei
gleichem Messgerät wäre danach bei einem Wert von 0,000 mehr
als tausendmal so gross als bei einem Wert von 1,111 - das ist

Du unterscheidest absoluten und relativen Meßfehler nicht. Der relative Meßfehler von 0,000 +/- 0,001 ist unendlich groß ((Delta x) / x = unendlich), wohingegen er bei 1,111 +/- 0,001 knapp ein Promille beträgt. Der absolute Fehler bleibt weiterhin bei beiden Messungen 0,001, und somit ist das Ergebnis 1,111 auf vier Stellen signifikant, das Ergebnis 0,000 aber auf eine, da man es als (0 +/- 1)*10^(-3) schreiben kann - eine Stelle Genauigkeit bei der Mantisse.

Gruß,
Ingo

Hallo Jochen,

ich war mal wieder so frei, Deinen Artikel zu einer FAQ zu verwursten (FAQ:2535).

* gabs zusätzlich

Gandalf

Hallo Ingo,

dein Verhalten hier ist gegenüber einem ernsthaften Fragesteller absolut unverantwortlich.

Gruss Reinhard

Firma dankt! :smile: (owt)
LG
Jochen

Hallo Gandalf,

guter MOD. Gebe auch noch einen * dazu. Wie notwendig die FAQ ist, siehst du auch daran, das Ingo weiter auf seinen absurden Ansichten besteht, dass der Wert 0 überhaupt keine sigifikanten Stellen hat, und daraus folgert er jetzt noch einen unendlichen relativen Fehler.

Threads, bei denen ein Teil der Antworter so neben jeder Logik steht, findet man sonst nur bei den Esoterikern oder den Überwindern der Relativitäts-Theorie.

Gruss Reinhard

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]