Wieviele Möglichkeiten

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

ich würde gerne wissen, wieviele Möglichkeiten ich habe, die Seiten eines Buchs zu sortieren. Nehmen wir zum Beispiel ein Buch mit 300 Seiten. Die Sortierung erfolgt anhand realer Seiten, d.h. das Seite 1 und 2 auf dem selben Blatt sind, und auch immer bleiben werden (anders gesagt, das Buch hat zwar 300 Seiten, aber nur 150 Blätter zum sortieren).

Wieviele Möglichkeiten der Sortierung gäbe es, und wie sieht die Formel aus, mit der ich sie berechne - oder ist die Anzahl gleich der Fakultät von 150?

ciao

JM

#2

!150 owt
.

#3

Hallo, John,
da stellen wir uns doch mal ganz dumm und fangen einfach mit
einem (zweiseitig bedruckten) Blatt an. Möglichkeiten der Sortierung: 1
Bei zwei Blättern, kann eines oben liegen oder unten. Möglichkeiten: 2
Bei drei Blättern gibts die Reihenfolgen 1,2,3 - 1,3,2 - 3,2,1 - 2,1,3 - 2,3,1 - 3,1,2
Bei vier Blättern … Ach mach doch selbst weiter!

Grüße
Eckard

#4

Hallo John,

ich würde gerne wissen, wieviele Möglichkeiten ich habe, die
Seiten eines Buchs zu sortieren. Nehmen wir zum Beispiel ein
Buch mit 300 Seiten. Die Sortierung erfolgt anhand realer
Seiten, d.h. das Seite 1 und 2 auf dem selben Blatt sind, und
auch immer bleiben werden (anders gesagt, das Buch hat zwar
300 Seiten, aber nur 150 Blätter zum sortieren).

Wieviele Möglichkeiten der Sortierung gäbe es, und wie sieht
die Formel aus, mit der ich sie berechne - oder ist die Anzahl
gleich der Fakultät von 150?

Bingo, Du weisst es doch schon. Man kann es aber auch leicht herleiten:
Vorrausgesetzt, die räumliche Ausrichtung der Blätter spielt keine Rolle und es werden immer alle 150 Blätter verwendet, kann man den Blättern die Positionen 1…150 zuordnen. Nimmst Du nun den Papierstapel und setzt ein Blatt nach dem anderen auf eine der 150 Positionen, ergeben sich folgende Möglichkeiten:

  1. Blatt 150 mögliche (freie) Positionen
  2. Blatt 149 mögliche Positionen
  3. Blatt 148 mögliche Positionen
    …
    …
  4. Blatt 2 mögliche Positionen
  5. Blatt 1 mögliche Position
    Alle Möglichkeiten dieser 150 Schritte sind unabhängig voneinander Kombinierbar, daher ist die Gesamtzahl aller Möglichkeiten das Produkt der Möglichkeiten aller 150 Schritte, also 150*149*148*…*2*1. So kommt man dann auf 150!(Fakultät)

Jörg

#5

Super, danke Jörg :smile:. Ich habe leider keine Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Schule gelernt (darum handelt es sich doch?) und das ich weiß, was eine Fakultät ist, ist ein bloßer Zufall… von daher ist Deine Erklärung prima - jetzt kenne nicht nur die Formel, sondern auch die Begründung.

Jetzt mal weiter gesponnen: Lotto, 6 aus 49. Möchte ich hier die möglichen Reihenfolgen an Zahlen errechnen (das bedeutet natürlich, das 1-2-3-4-5-6 und 6-5-4-3-2-1 als je eine Möglichkeit gezählt werden) wären das demnach 49*48*47*46*45*44 Möglichkeiten, richtig? Hm, der Neugier halber: Wie komme ich auf die Anzahl der beim Lotto möglichen Kombinationen?

ciao

JM

#6

Hallo,

unter der Voraussetzung, das das Buch einen zusammenhängenden, sinnvollen Text enthält, dessen Information erhalten bleiben soll:

EXAKT EINE MÖGLICHKEIT

Zum Glück sind die Seiten ja nummeriert… :wink:

Ansonsten: 150!

LG
Jochen

#7

Hallo.

Die Antwort 150! wurde ja bereits genannt, sie stimmt allerdings nur dann, wenn alle Bögen mit 2 Buchseiten immer „richtig herum“ benutzt werden. Wenn es auch erlaubt ist die Bögen um 180 Grad zu drehen, also auf den Kopf zu stellen, dann sieht es anders aus …

… das Ergebnis wäre dann

300 * 298 * 296 * …* 6 * 4 * 2

Micha

#8

Danke für den Hinweis :smile: , aber es ging tatsächlich um eine Sortierung ohne eine Veränderung der räumlichen Ausrichtung.

ciao

JM

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#9

Hm, der Neugier halber: Wie komme ich auf die Anzahl der beim Lotto möglichen
Kombinationen?

Genau so, wie Du losgelogen hast, nämlich mit 49x48x47x46x45x44. Dann schrubst Du vollkommen richtig, dass das nur gölte, wenn die Anordnung eine Spiele rölle. Was sie aber nicht tut, also

49x48x47x46x45x44
----------------- = 13.983.816
 6x5x4x3x2

Dazu gibt es auch eine FAQ:1537 (aber ich weiß ja auch gern mal was).

Gruß kw

#10

Zahlenwert
Hallo John,

und um auch noch den Zahlenwert zu geben: ca. 5,7*10^262.

Gruß Kubi

#11

Hallo,

Die Antwort 150! wurde ja bereits genannt, sie stimmt
allerdings nur dann, wenn alle Bögen mit 2 Buchseiten immer
„richtig herum“ benutzt werden. Wenn es auch erlaubt ist die
Bögen um 180 Grad zu drehen, also auf den Kopf zu stellen,
dann sieht es anders aus …

… das Ergebnis wäre dann

300 * 298 * 296 * …* 6 * 4 * 2

ich kann diese Formel nicht nachvollziehen – wie kommst Du darauf?

Wäre es nicht so, daß wenn die Drehung eines einzigen Bogens um 180° erlaubt wäre, es dann

150! * 2

Möglichkeiten gäbe, und wenn die Drehung aller 150 Bögen um 180° erlaubt wäre (und nichts sonst weiter), es dann

150! * 2150

Möglichkeiten gäbe?

Ich würde behaupten, daß sich bei Zulassung eines zusätzlichen Freiheitsgrades mit f Freiheiten auf alle Blätter des n-Blätter-Systems die Möglichkeitenzahl mit fn multipliziert.

Wer von uns beiden irrt sich?

Gruß
Martin

#12

Hm, ich glaube, Du hast fast recht. Denn das drehen der Blätter ist ungleich dem teilen. Nehmen wir mal an, ich könnte die Blätter so teilen, das ich z.B. aus Seite 1 und 2 zwei einzelne Seiten machen kann. In dem Falle wären die Möglichkeiten 300!. Erlaube ich es jedoch nur, das die Blätter gewendet werden, ergibt sich pro Blatt eine weitere Kombinationsmöglichkeit - mehr aber nicht. Ich könnte z.B. zwei Blätter in dieser Seitenreihenfolge sortieren:

1,2,3,4
1,2,4,3
2,1,3,4
2,1,4,3
3,4,1,2
3,4,2,1
4,3,2,1
4,3,1,2

Es gäbe also 8 Möglichkeiten. Testen wir es per Formel. Der ursprüngliche Vorschlag für zwei Seiten wäre 2! gewesen. Da wir jetzt 2 Seiten wenden können, bestehen natürlich mehr Möglichkeiten. Allerdings wäre 4!=24. Demnach müsste diese Formel falsch sein. Um 24 Möglichkeiten zu haben, die Blätter zu sortieren, müsste ich jede beliebige Reihenfolge nehmen können, aber das geht nicht, wenn ich die Blätter nur wenden darf. Diese Reihenfolge geht z.B. nicht:

4,1,3,2

Seite 4 und Seite 1 können nicht auf dem selben Blatt sein. Dadurch fallen einige Kombinationen weg. Nach Deiner Formel hätten wir 2!*2^1. Demnach wäre die Formel beinahe richtig - Du musst bedenken, das Du von Anfang an wenigstens eine eine Kombinationsmöglichkeit pro Blatt hast. Bei zwei Kombinationsmöglichkeiten pro Blatt, wie wir es gemacht hätten, müsste demnach hoch zwei gerechnet werden. Dann lautete die Formel 2!*2^2 und das wären 8, und so viele Möglickeiten haben wir hier…

Hmm, ja, klingt annehmbar :smile:

ciao

JM

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#13

Entschuldige, beim lesen des Threads bin ich Miss Verständnis begegnet :wink:. Deine Formel ist natürlich völlig richtig, ich hab sie nur zuerst falsch verstanden. Nach Deinem Vorschlag lautet die Formel natürlich auch 2!*2^2, was ich schrieb, 2!*2^1 würde gelten, wenn wir nur das erste Blatt wenden könnten. Umf, da hab ich wohl zu schnell gelesen, Asche über mein Haupt.

ciao

JM

#14

Hm, ich glaube, Du hast fast recht. Denn das drehen der
Blätter ist ungleich dem teilen. Nehmen wir mal an, ich könnte
die Blätter so teilen, das ich z.B. aus Seite 1 und 2 zwei
einzelne Seiten machen kann. In dem Falle wären die
Möglichkeiten 300!.

Richtig. Aber das wäre auch die einzige Möglichkeit, einen Ausdruck zu erhalten, in dem überhaupt eine 300 vorkommt! Denn dann läge ein echtes 300-Seiten-System vor, so ist es aber nur ein 150-Blätter-System. In jedem Ausdruck, der auf ein 150-Blätter-System zutrifft, darf aber auch nur die 150 vorkommen (oder wenn eine 300, dann stets in der Form „300/2“), egal, welche Operationen für die Blätter noch zugelassen werden.

Ausdrücke mit dieser Struktur

300 * 298 * 296 * …* 6 * 4 * 2

gibt es zwar in der Mathematik, aber ich kann mir nicht vorstellen, daß ein kombinatorisches Problem darauf führen könnte (wie sollte das aussehen?).

Bye
Martin

#15

300 * 298 * 296 * …* 6 * 4 * 2

gibt es zwar in der Mathematik, aber ich kann mir nicht
vorstellen, daß ein kombinatorisches Problem darauf führen
könnte (wie sollte das aussehen?).

Bye
Martin

Hm, ohne nachzurechnen, mal eine Vermutung: Das würde gehen, wenn das erste Blatt 151 Kombinationen hätte, das zweite 152, das dritte 153 usw. Den 150 Blätter haben 150! Möglichkeiten, und kann ich eines der Blätter jetzt in 151 Kombinationen anordnen, wird daraus 150!*151, erlaube ich einem weiterem Blatt 152 Kombinationen, wären es 150!*151*152

Oder?

ciao

JM

#16

Hallo Martin,

300 * 298 * 296 * …* 6 * 4 * 2

ich kann diese Formel nicht nachvollziehen – wie kommst Du
darauf?

Wäre es nicht so, daß wenn die Drehung eines einzigen
Bogens um 180° erlaubt wäre, es dann

150! * 2

Möglichkeiten gäbe, und wenn die Drehung aller 150
Bögen um 180° erlaubt wäre (und nichts sonst weiter), es dann

150! * 2150

Möglichkeiten gäbe?

Wo ist der Unterschied ?

150! * 2150 = 150*2 * 149*2 * … * 1*2 = 300 * 298 * … * 2

Jörg

#17

150! * 2^150 = 150*2 * 149*2 * … * 1*2 = 300 * 298 * … * 2

Hallo Jörg,

es ist und bleibt eine unverrückbare Tatsache: Egal, wie simpel es ist – manchmal blickt man’s einfach nicht. Die beiden Ausdrücke nicht wenigstens einmal für denselben Testwert ausgerechnet und die Ergebnisse verglichen zu haben, war allerdings auch nachlässig. Mea culpa.

@den Autor der Formel: Bitte entschuldige meine unnötige Frage.

Danke, Jörg.

Gute Nacht
Martin