1/(a+bi) Umwandeln

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
Ich habe dir Formel: 1/(a+bi)=1/z
Nun ist meine Aufgabe, die Zahl in realen und imaginären Teil zu trennen. Dazu muss ich a+bi irgendwie aus dem Nenner rausbekommen. 1/z soll allerdings so stehen bleiben. Mein Ansatz war durch eine Ergänzung, indem man den Bruch mit einer Zahl multipliziert zu bearbeiten. Allerdings weiß ich nicht, welche Zahl ich da nehmen muss, bzw. was genau ich damit erreichen möchte.

Wäre super, wenn ihr mir da so ein kleinen Tipp geben könntet. Vermutlich ist das ganze wieder ziemlich simpel und ich hab nur nen Brett vorm Kopf…

Gruß
Julian

#2

Hallo,

Hallo,

Ich habe dir Formel: 1/(a+bi)=1/z
Wäre super, wenn ihr mir da so ein kleinen Tipp geben könntet.
Vermutlich ist das ganze wieder ziemlich simpel und ich hab
nur nen Brett vorm Kopf…

Beide Seiten mit dem Kehrwert des komplex konjugierten Nenners der linken Seite multiplizieren…

Gruß
Julian

#3

Hallo Julian.

Mein Ansatz war durch eine Ergänzung, indem man den Bruch mit einer
Zahl multipliziert zu bearbeiten. Allerdings weiß ich nicht,
welche Zahl ich da nehmen muss, bzw. was genau ich damit
erreichen möchte.

Du solltest den Bruch mit einer Zahl erweitern, nicht multiplizieren. Besonders geeignet ist das konjugiert Komplexe des Nenners, also a-bi. Was Du erreichen möchtest, kann ich natürlich nicht wissen, aber der Zweck der Erweiterung wird klar, sobald Du sie ausführst.

Liebe Grüße,

The Nameless

#4

Beide Seiten mit dem Kehrwert des komplex konjugierten Nenners
der linken Seite multiplizieren…

Also bi oder a+bi?

Ergibt für mich beides nicht so richtig Sinn, entweder hab ich dann
1 = (a+bi)/z
oder
bi/(a+bi)=bi/z

Nun, beim oberen Beispiel könnte ich dann mit z multiplizieren, aber der Auftrag war, zu beweisen, dass man ein realen und ein imaginären Teil bekommt, wenn man eine Zahl durch eine andere Zahl mit realen und imaginären Teil teil. Das bedeutet, auf der einen Seite muss die 1/z stehen bleiben. Ich muss einfach dieses Bruch so aufteilen, dass man klar sagen kann, das ist real und das ist imaginär.

#5

Moin,
Die Aufgabe ist, zu beweisen, dass man ein realen und ein imaginären Teil bekommt, wenn man eine Zahl durch eine andere Zahl mit realen und imaginären Teil teil. Das bedeutet, auf der einen Seite muss die 1/z stehen bleiben.

So ergibts Sinn. Einfach mit a-bi erweitern. Für i^2 -1 einsetzen und den Bruch aufteilen:
\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{1}{a+bi}*\frac{a-bi}{a-bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^{2}i^2}=\frac{a-bi}{a^2-b^2}=\frac{a}{a^2-b^2}-\frac{bi}{a^2-b^2}

Danke!

#6

Hallo.

So ergibts Sinn. Einfach mit a-bi erweitern. Für i^2 -1
einsetzen und den Bruch aufteilen:

Richtig, aber die 3. binomische Formel dabei richtig anwenden:

\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{1}{a+bi}*\frac{a-bi}{a-bi}=\frac{a-bi}{a^2-b^{2}i^2}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{bi}{a^2+b^2}

Sebastian.

#7

Hi,

Richtig, aber die 3. binomische Formel dabei richtig anwenden:

\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{bi}{a^2+b^2}

Du sagst es :wink: Danke