Es sind 12 gleich aussehende Kugeln gegeben, von denen 11 das selbe Gewicht haben und eine Kugel leichter oder schwerer als die anderen ist. Wie schafft man es durch nur 3 Wiegungen mit einer Balkenwaage die „falsche Kugel“ zu ermitteln und gleichzeitig zu sagen, ob diese leichter oder schwerer als die anderen Kugeln ist?
FAQ 592 (owt)
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LÖSUNG 
Teilen Sie die 12 Kugeln in drei Vierergruppen auf. Wiegen Sie zwei der Vierergruppen gegeneinander. Jetzt gibt es drei Möglichkeiten:
Die Waage kippt nach links. Somit befindet sich entweder links die schwere Kugel oder rechts die leichte Kugel.
Die Waage kippt nach rechts. Somit befindet sich entweder rechts die schwere Kugel oder links die leichte Kugel.
Die Waage bleibt waagerecht. D.h. die leichte oder schwere Kugel befindet sich unter den vier nicht gewogenen Kugeln.
Die Fälle (1) und (2) sind analog und werden im folgenden unter Punkt I behandelt. Fall (3) erfordert ein anderes Vorgehen und wird weiter unten unter Punkt II behandelt.
I. Die Waage kippt beim ersten Wiegevorgang
Aus dem ersten Wiegevorgang können Sie folgende Schlüsse ziehen:
Eine der Kugeln auf der nach oben kippenden Seite könnte leichter sein, ist mir Sicherheit aber nicht schwerer als die anderen. Es gibt also vier potentiell leichte Kugeln: l1, l2, l3, und l4.
Eine der Kugeln auf der nach unten kippenden Seite könnte schwerer sein, ist mit Sicherheit aber nicht leichter als die anderen. Es gibt also vier potentiell schwere Kugeln: s1, s2 s3 und s4.
Die übrigen Kugeln sind normal schwer. Sie werden im folgenden nicht mehr gebraucht.
Für den zweiten Wiegevorgang bilden Sie folgende Gruppen:
(l1, l2, s1)
(l3, l4, s2)
Jede Gruppe besteht aus zwei potentiell leichten und einer potentiell schweren Kugel. Wiegen Sie die beiden Gruppen gegeneinander. (s3 und s4 werden also nicht gewogen). Jetzt gibt es wieder drei Möglichkeiten:
(l1, l2, s1) kippt nach oben und (l3, l4, s2) nach unten. Das bedeutet, dass s1, l3 und l4 normale Kugeln sind, denn schließlich kann eine potentiell leichte Kugel ihre Seite nicht nach unten kippen lassen, ebensowenig kann eine potentiell schwere Kugel die Waage nach oben kippen lassen.
Wiegen Sie im dritten Schritt l1, gegen l2. Auf der Seite, die nach oben kippt, liegt die gesuchte (leichte) Kugel. Bleibt die Waage waagerecht, so ist s2 die gesuchte (schwere) Kugel.
Die Waage bleibt waagerecht. D.h. die leichte oder schwere Kugel befindet sich unter den nicht gewogenen Kugeln.
Wiegen Sie s3 gegen s4. Auf der nach unten kippenden Seite befindet sich die gesuchte (schwere) Kugel.
(l3, l4, s2) kippt nach oben und (l1, l2, s1) nach unten. Analog zu (1.) können Sie die gesuchte Kugel bestimmen.
II. Die Waage kippt beim ersten Wiegevorgang nicht
Aus dem ersten Wiegevorgang können Sie folgende Schlüsse ziehen:
Die Kugeln auf der Waage ( n1…n8) sind normal schwer:.
Eine der nicht gewogenen Kugeln (g1, g2, g3, g4) muss die gesuchte Kugel sein:
Bilden Sie für den zweiten Wiegevorgang folgende Gruppen: (g1, g2, g3) und (n1, n2, n3). Jetzt gibt es wieder drei Möglichkeiten:
(g1, g2, g3) kippt nach unten. Somit ist die gesuchte Kugel in dieser Gruppe, und die gesuchte Kugel ist schwerer.
Wiegen Sie g1 gegen g2. Kippt g1 nach unten, ist g1 die gesuchte Kugel. Kippt g1 nach oben, ist g2 die gesuchte Kugel. Bleibt die Waage waagerecht, ist g3 die gesuchte Kugel.
(g1, g2, g3) kippt nach oben. Somit ist die gesuchte Kugel in dieser Gruppe, und die gesuchte Kugel ist leichter.
Wiegen Sie g1 gegen g2. Kippt g1 nach oben, ist g1 die gesuchte Kugel. Kippt g1 nach unten, ist g2 die gesuchte Kugel. Bleibt die Waage waagerecht, ist g3 die gesuchte Kugel.
Die Waage bleibt waagerecht. Somit ist g4 die gesuchte Kugel. Wiegen Sie g4 gegen eine normale Kugel (n1) und sie können sehen, ob g4 leichter oder schwerer ist.