dasselbe mit kürzeren Zeilen
(Blöd wenn man ganz nach unten scrollen muss
um horizontal zu scrollen)
Das erste Rätsel schien mir einfach,
hab ich nicht probiert.
Das zweite sah sehr interessant aus.
Hier mein bisheriger Lösungsweg der 2. Aufgabe
(nach 2 Tagen denken):
Peter, Simon und Daniel sollen zwei Zahlen herausfinden.
Hierfür erhalten sie folgende Informationen: Beide Zahlen
liegen im Bereich von 1 bis 1000, und beide sind ganzzahlig
(also keine Kommazahlen), und es wäre auch möglich, dass beide
Zahlen identisch sind. Peter erfährt zudem das Produkt der
beiden Zahlen, Simon bekommt die Summe, und Daniel die
Differenz.
(Und sie kriegen auch gesagt, was sie jeweils bekommen.)
Daraufhin kommt es zu folgendem Gespräch:
Peter: Ich kenne die Zahlen nicht.
Das bedeutet, dass das Produkt KEINE Primzahl ist.
Wäre das Produkt eine Primzahl, würde er die Zahlen kennen:
1 und die Primzahl (die dann auch 1 sein kann).
Ferner ist das Produkt nicht 1000000.
Das Produkt besteht auch nicht aus zwei Primfaktoren über 31.
Simon: Das brauchst Du mir nicht zu sagen, denn das wusste ich
schon.
Das heisst die Summe ist NICHT irgendeine Primzahl + 1,
und auch nicht die 2.
Peter: Dann kenne ich die Zahlen jetzt.
Heftig.
Das heisst dass für ihn dank Simon’s Info
nur eine Möglichkeit übrigbleibt,
was wiederum wahrscheinlich heisst,
dass es für ihn vorher nur max. 5 Kombinations-Möglichkeiten gegeben hat,
aber wohl eher 2.
Die ersten Zahlenpaare-Kandidaten sind 4 und 1,
8 und 1, 9 und 1, 15 und 1, 27 und 1,…Hm.
Da Peter’s Produkt§ keine Primzahl ist,
schlüpft P+1 automatisch durch das Netz von Simon. Um.
Muss Simon’s Summe(S)=P+1 sein?
Daniel’s Aussage scheint das Gegenteil anzudeuten.
Doch die Zahl, die er für wahrscheinlich hält
und die nach Peter nicht stimmt (das wird wohl die 1 sein)
muss doch dabei sein?
Denn wenn es ausser P und 1 noch ein zweites Zahlenpaar gibt,
dessen Summe nicht nach einer Primzahl kommt,
dann kann Peter doch nicht wissen,
welches Paar nun stimmt?
Ha! Was ist, wenn sich das Zahlenpaar P+1 disqualifiziert,
weil P>1000? Das wird’s sein.
Also: S ist NICHT P+1, 1000 1000000 (bei über 3 Faktoren)
oder für Peter ohne Simon’s Info eindeutig.
So langsam braucht man eine Primzahltabelle.
Simon: Ich kenne sie jetzt auch.
Sooo. Das heisst auch für Simon hat es wohl nur wenige Möglichkeiten gegeben,
von denen wegen Peter’s Reaktion nur eine bleibt.
Da P>1000 kann die Summe nicht am unteren Ende der Möglichkeiten liegen,
sondern recht knapp unter 2000.
Und eine der beiden ist vermutlich eine Primzahl.
Jetzt brauch ich 'nen Taschenrechner, Stift, Papier und die Tabelle.
Die 5 letzten Primzahlen vor 1000 sind 997, 991, 983, 977 und 971.
Nö. Wäre eine der Zahlen eine so große Primzahl,
wär’s für Peter ohne Simon’s Info eindeutig.
Falls eine der Zahlen eine Primzahl ist so ist sie kleiner 500,
was nicht sein kann da Summe dann weit unter 2000.
Also beide Zahlen nicht-prim.
PFZ der letzten nicht-Prims:
1000=2,2,2,5,5,5
999=3,3,3,37
998=2,499 hmm
996=2,2,3,83
995=5,199 hmm2
994=2,7,71
993=3,331 hmm3
992=2,2,2,2,2,31
990=2,3,3,5,11
989=23,43
800=2,2,2,2,2,5,5
Wenn beide Zahlen so weit oben sind,
kommt noch eine Regel zum Tragen:
Ihre Faktoren müssen sich so aufteilen lassen,
dass sich mindestens noch ein weiteres Zahlenpaar
mit beiden Zahlen unter 1000 ergibt.
Holla. KEINE Kombination aus den letzten 10 nicht-Prims schafft das.
Ein Paar das es schon beinah schafft ist 989 und 1008
das sich zu 966 und 1032 rekombinieren lässt.
Das wohl erste Paar das es schafft ist 930 und 930 bzw. die Rekombination 900 und 961.
Summe 1860 bzw. 1861, beide nicht Prim+1, also nicht die gesuchten.
So knapp unter 2000 liegt S wohl doch nicht.
Hab eins! 899 und 899, Rekombination 961 und 841,
Summe ist aber Prim+1.
Kann Simon aus S=1798 und Peter’s Reaktion echt auf 899 und 899 schließen?
Für ihn davor mögliche Paare:
1000+798
999+799
998+800
997+801
996+802
.
.
.
902+896
901+897
900+898
899+899
Und jetzt sollen alle Paare ausser 899+899 wegfallen, weil sie
entweder a)
zu eindeutig sind (eine Prim dabei ist
oder die Faktoren sich nicht unter 1000 rekombinieren lassen)
oder b)
nicht eindeutig genug sind weil mehr als eine gültige Rekombinationssumme
nicht Prim+1 ist,
oder c)
unmöglich sind weil alle gültigen Rekombinationssummen Prim+1 sind
?
Mag sein, aber ich bin zu faul zum nachprüfen.
Es ist einigermaßen plausibel, da auf viele a) zutreffen wird.
c) wird auf keins zutreffen, da 1798 nicht Prim+1
Daniel: Ich kenne die beiden Zahlen noch nicht. Ich kann nur
eine Zahl vermuten, die wahrscheinlich dabei ist, aber sicher
weiß ich’s nicht.
(Annahme: er hat mitgehört. Sonst macht seine Aussage keinen Sinn.)
Peter: Ich weiß, welche Zahl Du vermutest, aber die ist
falsch.
Daniel: OK, dann kenne ich jetzt auch beide Zahlen.
Schon verwertet.
Aber Daniel’s Differenz(D) ist doch 0?
Wie kann er dann eine 1 vermuten?
Es gibt da wohl noch ein anderes Paar…
Schau’n wir uns nun doch mal das untere Ende an
(wenn man bedenkt, wieviele Paare Simon/ich am oberen Ende ausschließen müsste…)
Wir suchen also nun zwei Zahlen deren Produkt recht knapp über 1000 ist,
aus deren Differenz S=P+1 möglich aber nicht zwingend ist.
In erster Stufe ist für D möglich
(siehe erste mögl. Paare): 3, 7, 8, 14, 26…
Die Summe liegt bei über 64.
Primzahlen im unteren Bereich / Zahlen mit nur 2 Faktoren:
19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97…/
21 22 25 26 33 34 35 38 39 46 49 51 55 57 58 62 65 69 74 77 82 85 86 87 91 93 94 95
Alle Zwei-Faktor-Zahlen mit Faktor 2 streichen,
da sie mindestens zwei ungerade Rekombinationen haben
die dann also nicht Prim+1 sind.
19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97…/
21 25 33 35 39 49 51 55 57 65 69 77 85 87 91 93 95
JA! 37 und 51(3*17) Rekombis: 17*37+3=632(Prim+1); 37*3+17=128(Prim+1);
S=37+51=88(nicht Prim+1)
D=14 -> auch Paar 1+15 wäre möglich, wenn S=P+1
P=37*17*3=1887(nicht Prim)
Check:
Peter: Ich kenne die Zahlen nicht.
P=37*17*3=1887(nicht Prim)
Simon: Das brauchst Du mir nicht zu sagen, denn das wusste ich
schon.
S=88(nicht Prim+1)
Peter: Dann kenne ich die Zahlen jetzt.
Kombis 17*37+3=632(Prim+1) und 37*3+17=128(Prim+1) fallen weg;
Bleibt nur S=37+17*3=88(nicht Prim+1)
Simon: Ich kenne sie jetzt auch.
Passe. 1*87=3*29=P möglich.
Nach Simon’s Wissenstand kann P doch auch zB 87 sein (nicht Prim+1),
da für Peter nach Simon’s Aussage Kombi 3+29 wegfällt, da Prim+1.
CHECK FAILED
Es muss noch mehr Paare geben…
Daniel: Ich kenne die beiden Zahlen noch nicht. Ich kann nur
eine Zahl vermuten, die wahrscheinlich dabei ist, aber sicher
weiß ich’s nicht.
Peter: Ich weiß, welche Zahl Du vermutest, aber die ist
falsch.
Daniel: OK, dann kenne ich jetzt auch beide Zahlen.
Hier wie es gehen muss:
Peter: Ich kenne die Zahlen nicht.
P ist nicht Prim.
Simon: Das brauchst Du mir nicht zu sagen, denn das wusste ich
schon.
S ist nicht Prim+1
Peter: Dann kenne ich die Zahlen jetzt.
Für Peter gibt es nur eine mögliche Kombination die nicht Prim+1 ist,
und deren Zahlen im Definitionsbereich 1-1000 sind.
Simon: Ich kenne sie jetzt auch.
Für Simon gibt es nur ein Summenpaar,
dessen Rekombinationen alle Prim+1 sind,
und dessen Zahlen im Definitionsbereich 1-1000 sind.
Daniel: Ich kenne die beiden Zahlen noch nicht. Ich kann nur
eine Zahl vermuten, die wahrscheinlich dabei ist, aber sicher
weiß ich’s nicht.
Peter: Ich weiß, welche Zahl Du vermutest, aber die ist
falsch.
Daniel: OK, dann kenne ich jetzt auch beide Zahlen.
Daniel hatte mehrere mögliche Zahlenpaare;
in allen ausser einem kam eine bestimmte Zahl vor.
Vermutlich braucht man tatsächlich ein Computerprog dafür.
cu
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