Hallo zusammen,
ich suche die Schnittfläche von den beiden Kreisen
AS = 1
AB = 2
→ hier kannst du sehen, wie man es berechnet. Falls es dir nur um das Ergebnis geht: Auf der Seite gibt es eine App.
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Ziehe eine Linie zwischen den beiden Schnittpunkten der Kreise.
Damit kriegst du zwei Kreissegmente.
Den Mittelpunktswinkel alphar des großen Segments (begrenzt von der roten Kreislinie und der Geraden durch die Schnittpunkte) kannst du über den Cosinus berechnen, wenn du bedenkst, dass der Schnittpunkt ein Punkt auf dem grünen Thaleskreis mit Radius 2 ist:
cos (alphar / 2) = rr / 2rg.
Mit rg = 2rr wird daraus:
cos (alphar / 2) = rr / 4rr
alphar = 2 arccos(1/4)
rr ist der Radius des roten Kreises, rg der Radius des grünen Kreises.
Versuch mal damit weiterzukommen. Ich geh jetzt ins Bett 
Gruß,
Kannitverstan
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Hallo Ralf,
zur Frage nach der Berechnung hat Dir ja Metapher eine Seite verlinkt. Weil solche Kreisprobleme oft auf Formeln führen, die nicht eines gewissen Charmes entbehren, habe ich mir spaßeshalber die Mühe gemacht, den für Deine Parameter (a = 1 und b = d = 2) entstehenden Term maximal zu vereinfachen – und wurde nicht enttäuscht:
π + arccos(251/256) – 1/2 · sqrt(15)
ist der Inhalt der gesuchten Fläche (numerischer Wert 1.4030664…). Finde ich immer wieder witzig, wenn ein simples Problem auf so Zahlen wie 251/256 führt. Warum gerade diese und dann noch als Argument von arccos? Wir haben es als unergründlich zu akzeptieren.
Falls Du es nachvollziehen willst: Für das Vereinfachen des Terms benötigst Du die passenden Additionstheoreme für die arccos-Funktion (4 arccos x + arccos y kann man zu „einem arccos“ umformen). Kann man von Hand machen, aber flotter und bequemer geht es mit einem CAS wie z. B. Maxima.
Gruß
Martin
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hallo Martin
bin wie du auch zum gleichen Ergebnis gekommen, und zwar 1,403.
nur habe ich kein Additionstheorem benutzt.
Über das Dreieck M1 M2 A bin ich auf den Winkel Beta gekommen ( arccos 7/8)
damit auf die Streck S M2 = 7/4
Über Pythagoras gab es die Strecke A S = 1/4 Wurzel (15)
Hin und her:
das kleine Kreissegment: pi2²2Beta/360 - 1/4 Wurzel (15) 7/4
das große Kreissegment: pi1²*2 Alpha/360 - 1/4 Wurzel (15) *1/4
zusammenaddieren macht Fläche gesucht:1,403
vielen Dank für deinen Anregungen
hat mir geholfen
LG
Ralf
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Hallo Martin,
alternativ kann man auch komplexifizieren,
arccos(x) = -i ln[x+i sqrt(1-x^2)].
Rechnet man damit
4 arccos(7/8)+arccos(1/4)
aus, so kommt man auf
pi + arctan(13*sqrt(15)/251)
was natuerlich am Ende das gleiche numerische Ergebnis liefert wie deine Rechnung. Das der acrtan hereinkommt, ist dann relativ klar, weil die komplexe Zahl im Logarithmus in trigonometrischer Darstellung geschrieben wird,
z = r exp(i phi) = r exp[i arctan(y/x) ].
Liebe Gruesse
vom Namenlosen
Hallo Namenloser,
ja, die Beziehung
arccos(251/256) = arctan(13*sqrt(15)/251)
ist richtig. Welcher der beiden Terme jetzt „der einfachere“ sein soll, möge jeder selbst entscheiden.
Das lässt sich übrigens auch ganz reell über die Identität
arccos(x) = arctan(sqrt(1 – x²)/x) [*]
umrechnen. Für x = 251/256 resultiert das arctan-Argument zu
sqrt(256² – 251²)/251 = sqrt(2535)/251 = 13 · sqrt(15)/251
und damit ist man auch schon fertig.
Hinter [*] steht der Satz des Pythagoras: Man substituiere in sin²α + cos²α = 1 die Variable α durch arccos(x). Ein paar Billig-Umformungen führen zunächst auf
sin(arccos x) = sqrt(1 – x²)
woraus sich sogleich
tan(arccos x) = sqrt(1 – x²)/x
folgern lässt. Bildung von arctan auf beiden Seiten liefert die Behauptung.
Gruß
Martin
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