Die Berechnung der 3D-Oberfläche einer 4D-Kugel lautet 2r³pi²
Die Berechnung der Kappe einer 3D-Kugel lautet: h²pi(3r-h)/3
Doch wie berechnet man die Kappe der 4-dimensionalen Kugel… am besten gleich im Bogenmaß anstatt der Höhe
Bin überfragt!
Günter
nun kann ich meinen Fehler wenigstens korrigieren:
Die Kalottenfläche berechnet man über
pi(a+h²) bzw pi*r*2h
hey,
ich hab echt lang drüber nachgegrübelt, aber bin zu keinem ergebnis gekommen…
ich würde probieren, ob es mit dem integral mit der gouldin’schen regel geht, bin mir aber eben nicht sicher, ob das im 4d funkt 
darf ich neugierig sein und erfahren, wozu du das brauchst?
lg lili
naja ich will das Volumen des sichtbaren Universums im Ballonmodell berechnen.
Ich hatte zuletzt das Integral der Oberflächen der Querschnittskugeln versucht:
F_k3= 4pi*INT.(2Rh-h²).h =4pi(Rh²-h³/3)=4piR³((1-cos)²-(1-cos)³/3)=4piR³(2/3 -cos +cos³/3) =cos*(3-cos²)/3
doch es funzt für pi/2 nicht, da weiß ich ja das Ergebnis: pi²r^4/4
der letzte Term gehört nicht dazu…
also 4piR³(2/3 -cos +cos³/3) ergibt für 2*pi/2 (3D-Oberfläche der 4D-Kugel): piR³16/3 anstatt 2r³pi²
hier nochmal meine vollstängie Überlegung:
meine spärlichen Integral-Kenntnisse haben nun zu folgendem leider falschen Ergebnis geführt:
Ich gehe davon aus, dass das Integral über die Schnitt-Kugel-Oberflächen zum Ergebnis führt, so (Schnittkugel-Volumina) wurde ja, meine ich, auch das Volumen der 4D-Kugel berechnet:
k = rP = c*t
R ~ c*t
r = R*sin.(k/R)
u = R*cos.(k/R)
h = R-u = R-R*cos.(k/R)
soweit dürfte ja alles stimmen…
Die Schnittkugeln dürften wie bereits ausgeführt den Radius r= R*sin.(k/R) haben und somit die Oberfläche O2_S3_K4 = 4r²pi = 4piR²*sin.(k/R)²
Das Integral müßte daher so aussehen: k3_K4(h) = Fk(h) = INT.(4r²pi).h = 4pi*INT.(r²).h
ich muss dort „r“ durch „h“ ersetzen, um integrieren zu können {ich schreibe kurz „cos“ für cos.(k/R)}
h=R-R*cos=R(1-cos); cos=(R-h)/R
r²=R²(1-cos²)=R²-(R-h)²=2Rh-h²
ich hoffe dies war korrekt? (bzw ich hoffe, hier war der Fehler…)
also F = 4pi*INT.(2Rh-h²).h = 4pi(Rh²-h³/3) = 4piR³((1-cos)²-(1-cos)³/3) = 4piR³(2/3 -cos +cos³/3)
für cos.0 erhalten wir wie erwartet das Volumen 0:
F(cos.0) = 4piR³(2/3-1+1/3) = 0
ein konstantes C=0 wird also erwartungsgemäß nicht benötigt.
für pi/2 ergibt sich jedoch leider nicht das erwartete Ergebnis für O3_K4/2 von R³pi²:
F(cos.(pi/2)) = 4piR³(2/3) = piR³8/3
wo ist der Rechen-/Denkfehler?
ich glaube ich habs, wenngleich ich nicht weiß warum es nicht so geht (über die Höhe) wie ich es vorher rechnen sollte…stattessen also über den Mittelpunktswinkel my:
Fk(my) = 4pi*INT.((R²*cos.my²)*R).my = 1/2*4pi*R³*INT.(cos.my°).my
somit V3_k3_K4(my)=2pir³my
für die Grenzen my0=0 und my1=1 ergibt sich somit F(1)-F(0) = 2piR³ als sichtabarer Teil des Universums innerhalb des Partikelhorizonts mit R= c* t_universum
hmm das kann nicht richtig sein, es handelt sich wohl um den „Bauchumfang“ der Kugel, also den Rest der Kugel ohne Kalotenn oben und unten…
F(pi)/2-F(pi-1)/2 = 2piR³(pi-pi+1)/2 = piR³
das klingt sehr plausibel!!
ich bin mir ziemlich sicher, ich habe die Lösung:
k3K4(k) = R³pi*(2k/R-sin.(2k/R))
k ist der einseitige Kreisbogen, also vom Pol ausgehend.
für k=pi und k=pi/2 kommt jeweils das richtige Ergebnis heraus, und die restlichen Ergebnisse sind auch sehr plausibel.
Ich habe nur die bekannte Formel für die Gesamtoberfläche um das dort nicht benötigte Glied wieder erweitert.
Für das Ballonmodell (k=R) ergibt sich somit ein Volumen von 1,0907R³pi, also geringfügig weniger als das „normale“ Volumen von 4/3*R³pi