3x2 Gleichungssystem lösen

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich habe hier ein überbestimmtes Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und nur 2 Unbekannten. Problem hierbei ist ich soll die Lösung nähern, die für alle 3 Gleichungen mit möglichst geringer Abweichung funktioniert.
Bsp:
I 60,06 * m1 + 4 * m2 = 100
II 10 * m1 + 13,5 * m2 = 80
III 6 * m1 + 0,2 * m2 = 25

fasse ich I und II zusammen so errechne ich m1 mit rund 1,336 und m2 mit etwa 4,936. Wenn ich diese Ergebnisse dann in III einsetze steht da 25 = 9. Und das ist natürlich großer Quatsch.

Brauche Hilfe. X_x

#2

sorry bin grad mit meinem kopf bei quantenmechanik.
was hast du denn dabei fuer einen kontext? man kann das ja durchaus praezise berechnen und naeherungsverfahren gibt es hundert vielleicht habt ihr kuerzlich eines behandelt?

#3

sorry bin grad mit meinem kopf bei quantenmechanik.
was hast du denn dabei fuer einen kontext? man kann das ja
durchaus praezise berechnen und naeherungsverfahren gibt es
hundert vielleicht habt ihr kuerzlich eines behandelt?

Ist keine Schul/Uni-aufgabe, sondern ich brauche das für ein Programm. Ich habe 3 Sollwerte (= 3 Gleichungen) und die setzen sich jeweils aus maximal 3 Mengenangaben ( = Unbekannte) zusammen. Die Mengen müssen bestimmt werden.
Eine Näherung für nur eine Mengenangabe (3 Gleichungen, 1 Unbekannte) ist ja kein Problem und für 3 Mengenangaben gibts Gauss-Jordan. Nur bei 2 Mengenangaben suche ich noch nach einem guten Algorithmus.

#4

ah ok. ich glaube auf dem niveau kann ich dir in dem bereich nicht hilfreich sein :stuck_out_tongue:

viel erfolg aber!

#5

Hallo,
tja, egal welche Gleichung man weg lässt, das Ergebnis für x und y aus den beiden anderen passt halt nicht und führt zu ziemlich großen Widersprüchen.
Keine Ahnung, ob das auf eine Extremwertaufgabe, also Differentialrechnung, raus läuft, wobei man die geringste Abweichung berechnen kann oder ob man das einfach durch „Herantasten“ lösen soll…
Gruß

#6

Das ist dann numerik. Hier ist das Stichwort Methode der kleinsten Fehlerquadrate.

Hab leider keine Zeit mehr zu helfen, vielleicht hilft Aloha Fix: http://www.youtube.com/watch?v=Y6Jcr2DfY0M

#7

Das ist dann numerik. Hier ist das Stichwort Methode der
kleinsten Fehlerquadrate.

Hab leider keine Zeit mehr zu helfen, vielleicht hilft

Aloha

Fix: http://www.youtube.com/watch?v=Y6Jcr2DfY0M

Im Kern ist das schon genau das Richtige.
Ich hätte also eine 3-dimensionale Funktion, die ich an

einen Punkt im R3 annähern muss.

\left(\begin{array}{c} 60,06 \ 10 \ 6 \end{array}\right) *

m_1 + \left(\begin{array}{c} 4 \ 13,5 \ 0,2 \end

{array}\right) * m_2 = \left(\begin{array}{c} \tilde{x} \

\tilde{y} \ \tilde{z} \end{array}\right)

Punkt: \left(\begin{array}{c} 100 \ 80 \ 25 \end

{array}\right)

Wenn ich jetz davon ausgehe, dass die Entfernung der

genäherten Gerade in x-, y- und z-Ebene zusammen möglichst

gering sein soll erhalte ich

f(m_1, m_2) = \sqrt{\frac{(100 - \tilde{x}) ^2 + (80 -

\tilde{y}) ^2 + (25 - \tilde{z}) ^2}{3}}

=

\sqrt{\frac{(100 - (60,06 m_1 + 4 m_2)) ^2 + (80 - (10 m_1 +
13,5 m_2)) ^2 + (25 - (6 m_1 + 0,2 m_2)) ^2}{3}}

f’(m_1, m_2) = 0

Die Frage ist nun: Wie groß sind m1 und m2?

#8

Sorry, ich kann mich da nicht wirklich reindenken, aus Zeitmangel, vielleicht kann jemand besser helfen.

Gibt doch einfach die Daten in Word (Graph einfügen) oder Excel ein und lass einen Fit machen, da gibt es die Möglichkeit die Parameter des Fits anzuzeigen.

#9

Naja mit Excel wirds nix, weil Excel nur 2-dimensionale Punktdiagramme erlaubt (soweit ich weiß). X_x
Aber was da oben steht ist eh falsch.

Was bisher sicher ist, ist dass ich einen Punkt und eine Ursprungsgerade mit 2 Variablen (m1, m2) im R3 habe. Die Gerade muss irgendwie so nah wie möglich an den Punkt heran kommen.

#10

Dann probiere es doch mit Origin (oder was auch immer Du als mathematische Software nutzen magst)!
Du wirst auch nie m1 und m2 finden, so dass deine Gleichungen gleichzeitig gelöst sind. Das ist mathematisch unmöglich, wie du es mit einsetzen probiert hast.
Dass dein Polynom so nah an die Werte kommt, machst Du ja zum Beispiel mit der Methode der kleinsten Quadraten. Wende sie doch an, und damit hast Du Dein Koeffizienten m1 und m2 als Lösung eines genährten Systems. http://numerik.uni-hd.de/~lehre/SS12/numerik0/12-la-…
Wo liegt das Problem?

1 Like
#11

Danke für den Link. Da les ich das das erste mal klipp und klar ohne ewiges rumgeschwafel:

A^T Ax = A^T b

So einfach kanns sein.
Heißen Dank! ^^

#12

Okay, das wäre dann eine Extremwertaufgabe, aber mal ehrlich: DAS IST DOCH EINE VERGEWALTIGUNG DER MATHEMATIK!
Aber ich habe keine Ahnung, was für einen Rechenweg du da wählen mußt, tut mir Leid.

#13

sorry, da kann ich im Moment leider nicht helfen, Gruß Bernd

#14

hallo,
naja da in der aufgabenstellung steht, dass du die lösung annähern sollst, funtkioniert das nicht, wenn du einfach nur umformst und einsetzt!!

eine einfache methode zur näherung ist ausprobieren
dh du formst zuerst alle 3 gleichungen auf eine variable um zb auf m1

I: m1 = 1,665 - 0,0666*m2
II: m1 = 8 - 1,35*m2
III: m1 = 4,16667 - 0,033333*m2

und jetzt probierst du aus was passiert wenn du für m2= 1,2,3 usw einsetzt.
du wirst sehn dass die beste übereinstimmung für m2= 5 gegeben ist, da streuen die werte um 1,19401=m1
natürlich kannst du jetzt noch mit den kommastellen herumprobieren, vlt findest du da ein besseres ergebniss, aber das überlass ich dir.

viel spass