Guten Abend:
Warum gilt:
a-b=a+(-b) ?
a-b bereitet keine Schwierigkeiten a+(-b) dafür umso mehr.
Danke 
Grüezi ElaMiNaTo
Warum gilt:
a-b=a+(-b) ?a-b bereitet keine Schwierigkeiten a+(-b) dafür umso mehr.
…das ist eine der ersten Grundregeln der Mathematik - schau dir diese hier mal an:
http://www.mawilog.de/meister/mat.htm
Anders ausgedrückt:
Wenn du zu einem ersten Wert einen zweiten negativen Wert addierst, kannst Du genau so gut auch den Absolutwert des zweiten Wertes subtrahieren.
Mit freundlichen Grüssen
Thomas Ramel
- MVP für MS-Excel -
Grüezi ElaMiNaTo
Hier noch ein Nachtrag:
http://nibis.ni.schule.de/~ursula/Mathe/Algebra/Vorz…
Mit freundlichen Grüssen
Thomas Ramel
- MVP für MS-Excel -
Kann es sein, dass meine Verwirrung eifnach nur auf der weggelassenen 1 beruht?
1*(+a)-1*(+b)=1*(+a)+1*(-b)
a-b=a+(-b)
So würde das total den Sinn ergeben 
Das würde aber ja dann bedeuten, dass diese Gleichheit
a-b=a+(-b) auch auf den Gesetzen der Multiplikation beruht?
Also eben auf den Regeln + mal - ergibt - usw…?
Moin,
ja, das kann sein.
Wenn Du in der Anwendung der Rechenregeln sicherer bist, kannst Du ja „gefahrlos“ ein „1*“ einfügen genauso wie Du jederzeit „0“ addieren darfst.
Gruß Volker
Hallo,
Das würde aber ja dann bedeuten, dass diese Gleichheit
a-b=a+(-b) auch auf den Gesetzen der Multiplikation beruht?
Nein. Diese Gleichheit „beruht“ auf gar nichts. Sie ist reine Definitionssache. Wenn man die Rechenoperationen formal definiert (schau mal unter „Körpertheorie“, wenn dich Details interessieren), gibt es zunächst mal nur Addition und Multiplikation. Außerdem gibt es inverse Elemente. Ich beschränke mich mal das additive Inverse. Das additive Inverse zu einer Zahl ist genau die Zahl, die addiert mit der ursprünglichen Zahl 0 ergibt. Wir kennen das add. Inverse zu „a“ unter dem Namen „-a“.
Subtraktion ist nur eine verkürzende Schreibweise, eigentlich keine eigene Operation. Heißt, statt b+(-a) schreibt man eben kurz b-a.
b-a ist also einfach eine Abkürzung für b+(-a), es gibt keinen „tieferen“ Grund, warum die beiden gleich sind, das ist pure Definitionssache.
Die Multiplikation mit 1 verändert - wie immer, auch das ist übrigens in Körpern Definitionssache - nichts, es ist vorher genauso richtig wie nachher. Die Gleichheit ist auf keinen Fall nicht von der Multiplikation abhängig. Man kann Subtraktion auch definieren, ohne Multiplikation zu kennen/zu definieren.
Ich hoffe, das hilft dir etwas weiter.
Liebe Grüße,
Nadine
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Hi Nadine,
Danke für deine Antwort
Das additive Inverse kenne ich.
Wo ist jetzt der genaue Zusammenhang der additiven Inversität
a+(-a)=0 mit a+(-b)?
Und weiter: ist es Auslegungssache bzw. eine Definitionsfrage, was es bedeutet zu der Zahl a die inverse Zahl zu addieren? Also ist selbst a+(-a)=0 eine Definition? oder steckt hier ein tieferer Sinn dahinter?
Danke und Gruß
ElaMiNaTo
Hi nochmal =)
Das additive Inverse kenne ich.
Wo ist jetzt der genaue Zusammenhang der additiven Inversität
a+(-a)=0 mit a+(-b)?
Na ja da direkt nicht, aber in deiner Frage addierst du ja das additive Inverse von b zu a (also a+(-b)), was nach Definition eben auch als a-b bezeichnet werden kann. Und eben weil das so definiert ist - und aus keinem anderen Grund -, sind die beiden Ausdrücke gleich.
Und weiter: ist es Auslegungssache bzw. eine Definitionsfrage,
was es bedeutet zu der Zahl a die inverse Zahl zu addieren?
Also ist selbst a+(-a)=0 eine Definition? oder steckt hier ein
tieferer Sinn dahinter?
Auslegungssachen gibt es in der Mathematik zum Glück nicht 
(na ja, nehmen wir mal an, sie ist konsistent, sonst machen wir hier ja eh alles umsonst, aber das führt zu weit )
Definitionssache ist das Inverse sehr wohl. Genauer gesagt ist die Existenz eines additiven Inversen ein Axiom unter anderem in Körpern (die reelen Zahlen, von denen du ja vermutlich redest, sind ein Körper, die rationalen auch.) Ein Axiom ist ja etwas, das du am Anfang festlegst und aus dem du anderes folgern kannst. Das Axiom selbst kannst du nicht begründen oder aus etwas anderem folgern (außer, es wäre überflüssig, was bei diesem Axiom aber nicht der Fall ist.)
Und dieses additive Inverse ist eben so definiert, dass es, wenn es mit der Zahl, zu der es invers ist, addiert wird, 0 ergibt. Es gibt übrigens zu jeder Zahl genau ein solches Inverses und jede Zahl ist wiederum das Inverse zu ihrem Inversen (was man jeweils aus den Gruppen- bzw. Körperaxiomen folgern kann.)
Ein tieferer Sinn steckt hinter dieser Identität also nur insofern, als sie sich über die Jahre als recht sinnvoll als Teil der Basis der Mathematik erwiesen hat Erklären, warum es so ist, kann man nicht.
So, ich hoffe, ich habe es jetzt nicht noch komplizierter erklärt, sondern es wird etwas klarer
Danke und Gruß
Bitte, gern und Gruß zurück
Nadine
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Hallo Nadine
Ist vielleicht zu oberflächlich gedacht, aber:
Wäre Mathe inkonsistent in sich selbst so müsste sie vom rein logischem Standpunkte zu mindest in verschiedenen Teilen widersprüchlich und somit falsch sein.
Wie dem auch sei:
a+(-a)=0 ist also ein Axiom aus dem man anderes herleiten kann, was aber selbst aus nichts heraus hergeleitet werden könnte und falls es aus einem anderen Axiom hergeleitet werden könnte, so wäre es überflüssig. Das macht sinn.
Ich kann mir die Frage gerade nicht verkneifen:
Warum ist a+(-a)=0 nicht herleitbar?
Ich könnte mir vorstellen, dass man durch vollständiger Induktion beweisen könnte, dass a+(-a)=0 für alle Zahlen die so existieren und noch erdacht werden, gilt. Oder folgt das aus dem Axiom? Wird dies aus dem Axiom hergeleitet? Ich denke gerade, dass man das Axiom hernimmt und mittels des Axioms durch vollständiger Induktion zeigen kann, dass dies für alle Zahlen gilt, aber das Axiom ist die Grundlage.
Die Sache ist wohl nicht so einfach wie gedacht. Ich werde auch nun erstmal pennen.
Du hast es übrigens nicht komplizierter als vorher gemacht.
Guts Nächtle
Hallo,
Ist vielleicht zu oberflächlich gedacht, aber:
Wäre Mathe inkonsistent in sich selbst so müsste sie vom rein
logischem Standpunkte zu mindest in verschiedenen Teilen
widersprüchlich und somit falsch sein.
Ist in der Tat leider zu oberflächlich gedacht, ich kann das nur mal kurz anreißen: wäre die Mathematik inkonsistent (was sein kann, auch wenn das keine Auswirkungen, wie du sie dir vielleicht vorstellst, haben muss), könnte man das beweisen. Und es gibt in der Tat Wissenschaftler, die das ernsthaft versuchen. Wäre sie konsistent, wovon wir alle ausgehen, so könnte man das nicht beweisen (was man wiederum beweisen kann, ist aber mehr als kompliziert und aufwendig), das heißt, wir müssen davon ausgehen, ohne dass wir je Sicherheit bekommen werden (es sei denn, wie gesagt, wir haben Unrecht.)
Ich könnte mir vorstellen, dass man durch vollständige
Induktion beweisen könnte, dass a+(-a)=0 für alle Zahlen die
so existieren und noch erdacht werden, gilt. Oder folgt das
aus dem Axiom? Wird dies aus dem Axiom hergeleitet? Ich denke
gerade, dass man das Axiom hernimmt und mittels des Axioms
durch vollständiger Induktion zeigen kann, dass dies für alle
Zahlen gilt, aber das Axiom ist die Grundlage.
Das Axiom ist ja gerade, dass es zu JEDER Zahl eine Zahl gibt, für die das gilt. Das ist, wie gesagt, nicht beweisbar, sondern ein Axiom. Das Problem bei deiner Idee ist, dass du ja die Existenz von (-a) vorraussetzen musst, um etwas über (-a) (nämlich a+(-a)=0) zu beweisen. Und genau dafür brauchst du das Axiom, das dir diese Existenz garantiert. Ohne das Axiom könntest du ja beispielsweise nur positive Zahlen und die haben, womit der Ausdruck a+(-a), außer für 0, sinnlos wäre, da (-a) ja gar nicht existiert. Dann könnstest du auch nichts über a+(-a) beweisen.
Du hast es übrigens nicht komplizierter als vorher gemacht
Das freut mich, ich hoffe, jetzt immer noch nicht =)
Guts Nächtle
Dir auch eine gute Nacht!
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Hallo Nadine nochmal kurz
Ist in der Tat leider zu oberflächlich gedacht, ich kann das
nur mal kurz anreißen: wäre die Mathematik inkonsistent (was
sein kann, auch wenn das keine Auswirkungen, wie du sie dir
vielleicht vorstellst, haben muss), könnte man das beweisen.
Und es gibt in der Tat Wissenschaftler, die das ernsthaft
versuchen. Wäre sie konsistent, wovon wir alle ausgehen, so
könnte man das nicht beweisen (was man wiederum beweisen kann,
ist aber mehr als kompliziert und aufwendig), das heißt, wir
müssen davon ausgehen, ohne dass wir je Sicherheit bekommen
werden (es sei denn, wie gesagt, wir haben Unrecht.)
Steckt da nicht der Göddelsche Unvollständigkeitssatz dahinter? Jedenfalls erinnert mich das daran.
Das Axiom ist ja gerade, dass es zu JEDER Zahl eine Zahl gibt,
für die das gilt. Das ist, wie gesagt, nicht beweisbar,
sondern ein Axiom. Das Problem bei deiner Idee ist, dass du ja
die Existenz von (-a) vorraussetzen musst, um etwas über (-a)
(nämlich a+(-a)=0) zu beweisen. Und genau dafür brauchst du
das Axiom, das dir diese Existenz garantiert. Ohne das Axiom
könntest du ja beispielsweise nur positive Zahlen und die
haben, womit der Ausdruck a+(-a), außer für 0, sinnlos wäre,
da (-a) ja gar nicht existiert. Dann könnstest du auch nichts
über a+(-a) beweisen.
Stimmt. Andererseits würde die Lösung auch eigentlich genau das Axiom sein, wie du sagtest.
Ich glaube jetzt ist mein Geist erstmal befriedigt.
Danke dir.
Und jetzt bin ich aber wirklich im Bett
Hallo,
Steckt da nicht der Göddelsche Unvollständigkeitssatz
dahinter? Jedenfalls erinnert mich das daran.
Genau der. Genauer gesagt, der zweite.
Ich glaube jetzt ist mein Geist erstmal befriedigt.
Danke dir.
Wundervoll, gern geschehen =)
Liebe Grüße,
Nadine