Abgeschlossheit, Beschränktheit und Kompaktheit

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,
ich beschäftige mich schon seit Stunden mit diesen drei Begriffen „oben“ und bin immer noch nicht fertig damit. Ich wollte euch fragen,ob ihr mir die Begriffe Anhand von einer Aufgabe erklären könnt unter anderem auch Skizzieren. Die anderen Aufgaben sind noch schwieriger, aber ich möchte zumindest das Verständnis haben.
Diese Aufgabe ist von meinem Übungsblatt ( Aber keine Hausaufgabe oder so ähnlich ).

Aufgabe 1) A:= [-3,5 ; unendlich[ \ N 
Ich glaube, dass diese Menge nicht abgeschlossen ist, weil sie imprinzip unendlich viele Zahlen beinhaltet. Diese Menge ist auch nach unter beschränkt durch -3,5, wobei ich mich frage, ob sie insgesamt beschräkt ist, da sie (wie schon gesagt) unendlich viele Zahlen beinhaltet. Ob es Kompakt ist, wissen wir erst nachdem wir die Abgeschlossenheit und Beschränktheit geprüft haben und wenn beides zutrifft, dann ist sie kompakt andernfalls nicht.

Ich weiß nicht wie ich diese Menge skizzieren soll, da ich keine Koordinaten besitze.

Ich hoffe ihr könnt mir hierbei helfen.

MfG
R.

#2

Hallo zusammen,

Hallo R

Aufgabe 1) A:= [-3,5 ; unendlich[ \ N 
Ich glaube, dass diese Menge nicht abgeschlossen ist, weil sie
imprinzip unendlich viele Zahlen beinhaltet.

Wie viele Elemente eine Menge besitzt hat nichts damit zu tun ob sie offen, abgeschlossen, beschränkt oder kompakt ist.
Die Menge [0,1]\subset\mathbb{R} hat z.B. unendlich viele Elemente und ist trotzdem abgeschlossen, beschränkt und kompakt.

Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Du musst also erst mal verstehen wann eine Menge offen ist. Und da hälst du dich am besten an die Definition.
Eine Menge M ist offen, wenn es um jeden Punkt aus M eine Umgebung gibt die ganz in M liegt.
Jetzt bilde das Komplement deiner Menge. Nennen wir diese Menge mal \overline{A}. Sieh dir den Punkt \left{0\right}\in\overline{A} an. Kannst du eine Umgebung um diesen Punkt finden die ganz in \overline{A} liegt, die also keinen Punkt aus A enthält?

Hinweis: Es gibt offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Mengen die weder offen noch abgeschlossen sind und Mengen die offen und abgeschlossen sind.

Diese Menge ist
auch nach unter beschränkt durch -3,5, wobei ich mich frage,
ob sie insgesamt beschräkt ist, da sie (wie schon gesagt)
unendlich viele Zahlen beinhaltet.

Hier gilt „nach unten beschränkt“ + „nach oben beschränkt“ = „beschränkt“.

Zum Schluss noch eine Warnung: „abgeschlossen“ + „beschränkt“ = „kompakt“ gilt nur für Teilmengen vom \mathbb{R}^n. Hier kannst du das also anwenden, allzu leicht vergisst man aber diese Voraussetzung des Satzes von Heine-Borel.

Gruß

hendrik

#3

Vielen Dank für ihre Antwort. Ich wollte Sie fragen, ob Sie mir vll. einpaar Mengen (Beispiele) geben könnten und mir sagen könnten, ob die Mengen beschränkt, abgeschlossen oder bzw. und kompakt sind + 1 Satz zur Erläuterung. Ich würde mich sehr freuen, falls Sie dieser Bitte nachkommen könnten (mit Beispiele lerne ich und verstehe ich am besten).

MfG
R.

#4

Ich wollte Sie fragen, ob Sie
mir vll. einpaar Mengen (Beispiele) geben könnten und mir
sagen könnten, ob die Mengen beschränkt, abgeschlossen oder
bzw. und kompakt sind + 1 Satz zur Erläuterung.

Hallo R,

eine Menge ist dann beschränkt wenn du eine untere und eine obere Schranke angeben kannst, also zwei Zahlen die kleiner bzw. größer sind als jedes Element der Menge.

Abgeschlossen ist eine Menge wie gesagt wenn ihr Komplement offen ist. Das Konzept der Offenheit ist in der Mathematik sehr wichtig, da die offenen Mengen die Grundlage jeder Topologie bilden. Extra für dich ein Beispiel:

M=]0,1[\subset\mathbb{R}

Diese Menge ist offen, denn egal welches Element aus M du mir nennst, ich kann dir immer eine Umgebung um dieses Element angeben die ganz in M liegt.
Nennst du mir 0.5, sage ich ]0.4,0.6[.
Nennst du mir 0.9, sage ich ]0.8,0.91[
Nennst du mir 0.99, sage ich ]0.9,0.999[
usw.

Da M offen ist, ist das Komplement von M, also \overline{M}=\mathbb{R}\setminus M=]-\infty,0]\cup [1,\infty[, abgeschlossen.

Beispiele für Mengen die weder offen noch abgeschlossen sind, sind
M_1=[0,1[
M_2=[0,1]\cup]2,3[

Mengen die offen und abgeschlossen sind, sind z.B. \mathbb{R} und \emptyset.

Du kannst ja mal versuchen jeweils zu zeigen warum das so ist.

Die Kompaktheit zu erklären ist eher etwas für eine Vorlesung als für einen Forenbeitrag.
Eine Menge ist kompakt wenn jede offene Überdeckung der Menge eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Du siehst, dass auch hier wieder offene Mengen eine Rolle spielen.
Nimm z.B. die Menge M=]0,1[\subset\mathbb{R} und die offene Überdeckung U_n=\left]\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right[\ \forall n\in\mathbb{N}\setminus\left{0\right}. Alle Un sind offen und für jedes Element aus M gibt es ein Un in dem das Element enthalten ist.
Sobald du aber sagen wir nur die ersten hundert Un nimmst, wird es Elemente in M geben die in keinem der hundert Un mehr drin liegen. Und egal wieviele und welche Un du auswählst, es wird immer Elemente in M geben die in keinem der endlich vielen Un liegen.
Die offene Überdeckung von M hat deshalb keine endliche Teilüberdeckung. Und M ist deshalb nicht kompakt.
Mit Hilfe des Satzes von Heine-Borel hätte man das natürlich viel leichter sehen können. Der gilt aber wie gesagt nur im \mathbb{R}^n. Die Menge \mathbb{R}\cup\left{-\infty,\infty\right} ist z.B. kompakt obwohl sie nicht beschränkt ist.

Gruß

hendrik

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#5

Neben dem schon gesagten, noch der Hinweis:

Die „wichtigsten“ offenen Mengen sind die offenen Intervalle. z.B. ]0;1[, d.h. die Intervalle wo beide(!) Endpunkte ausgeschlossen sind.
Beliebige Vereinigungen solcher offener Intervalle sind auch wieder offen.
z.B. ]0;1[vereinigt mit]2;3[.

Schnittmengen von endlich vielen offenen Mengen sind wieder offen.

Jede offene Menge ist so darstellbar: Als Vereinigung von offenen Intervallen. Das können aber auch gerne mal unendlich viele sein. Die offenen Mengen werden also erstmal nicht so furchtbar hässlich.

Andersrum sind die wichtigsten abgeschlossenen Mengen die abgeschlossenen Intervalle.
Vereinigungen von endlich vielen abgeschlossenen Intervallen sind wieder abgeschlossene Mengen.
Schnittmengen von beliebig vielen abgeschlossenen Intervallen sind wieder abgeschlossen.

Beschränktheit:
Eine unendliche Menge kann beschränkt sein. Beispiel im Intervall ]0;1[ sind unendlich viele Elemente drin, aber die Menge hat eine untere Schranke (z.B. „-5“ oder „-2“) und eine obere Schranke (z.B. „10“ oder „12“). Natürlich gibt es auch eine größte untere Schranke („0“) und eine kleinste obere Schranke „1“.
Die Menge ]0;1[ ist also eine unendliche, offene, beschränkte Menge.

Weitere Beispiele:
Die Menge [0;1] ist eine unendliche, abgeschlossene, beschränkte Menge.
Die Menge [0,1[ ist eine unendliche, beschränkte Menge, die weder abgeschlossen, noch beschränkt ist.
Die Menge ]0 \ ; \ \infty [ ist unendlich, offen und nicht beschränkt.
Die Menge [0 \ ; \ \infty [ ist unendlich, abgeschlossen und nicht beschränkt.

Fazit:
Eine unendliche Menge kann beschränkt sein, muss aber nicht. Sie kann auch offen oder abgeschlossen oder beides gleichzeitig sein, muss aber nicht.

Andersrum gilt aber:
Ist eine Menge endlich, so ist sie auch beschränkt und abgeschlossen. Ist Dir klar warum?

Dein Beispiel: ]-3,5 \ ; \ \infty [ \setminus { \mathbb{N} }
Ist diese Menge beschränkt? Nach unten schon. „-4“ ist eine untere Schranke.
Aber gibt es auch eine obere Schranke? (Tipp: wohl eher nicht)

Dass die Menge nicht abgeschlossen ist, wurde ja schon gesagt.
Aber ist die Menge vielleicht offen? Wenn ja müsstest Du dir Definition nachweisen können:
Für jeden Punkt aus der Menge gibt es ein kleines, offenes Intervall, dass den Punkt enthält und ganz in der Menge liegt.
Oder Du schaust auf den Anfang vom Beitrag und zeigst, dass Deine Menge die Vereinigung von offenen Intervallen ist. Das erste offene Intervall könnte z.B. ]-3,5 ; -3[ sein.

Um Dir Die Menge zu veranschaulichen, würde ich einen Zahlenstrahl malen.
Intervalle sind Strecken auf dem Zahlenstrahl. Das Intervall von -3,5 bis unendlich ist also wieder ein „Strahl“ beginnend bei -3,5 und dann über das Ende Deines Zeichenblattes hinaus. Dann musst Du nur in regelmäßigen Abständen ein paar Punkte wegstreichen und fertig ist Dein Bild.

Beste Grüße
Greyfox

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#6

Jede offene Menge ist so darstellbar: Als Vereinigung von
offenen Intervallen.

Zumindest jede offene Teilmenge von \mathbb{R}

#7

Also erstmal bedanke ich mich nochmals bei Hendrik und ich bedanke mich auch bei Ihnen Greyfox. Nur eine kleine Sache noch und zwar habe ich nicht verstanden wie sie bei der Menge M (M ist Element von dem Intervall [-3,5 , unendlich)\ N ) auf eine Schranke bei „-4“ kommen. Mit Schranke verstehe ich eine echt parallel gerade zur x- Achse die in diesem Beispiel bei y= -4 schneidet.

MfG
R.

#8

und bzgl. der Standard-Topologie.

#9

Nochmal der Unterschied:
Eine Menge kann beschränkt sein. Aber auch eine Funktion kann beschränkt sein.

M ist eine Menge, keine Funktion. Es gibt hier keine „parallele zur x-Achse“.
Die Definition einer unteren Schranke einer Menge von reellen Zahlen lautet:

"Die Zahl s ist genau dann eine untere Schranke von M, wenn für alle Elemente m aus M gilt: s \leq m .

Zweifellos gilt für alle Elemente aus der konkreten Menge M, dass sie größer als -4 sind.

Zur Anschauung: Male Dir M NICHT in ein x,y-Koordinatensystem ein, weil es ja keine Zahlenpaare sind. Male Dir stattdessen M auf einem Zahlenstrahl ein. Dann siehst Du auch die Schranken.