kühlt eine wasser, das eine höhere temperatur hat, schenller ab als wasser, das eine niedrigere temperatur hat?
Bsp: ich habe zweimal je 1 Liter wasser. 1 Liter hat eine temperatur von 70 Grad Celsius, der andere Liter eine temperatur von 30 Grad Celsius. Die Raumtemperatur beträgt 20 Grad Celcius. Wie lange brauchen beide Liter, um je 10 Grad Celsius zu sinken?
Sinkt der 70 Grad heiße Liter schneller auf 60, als der 30 Grad heiße auf 20?
im voraus schon mal danke
In diesem Fall gilt näherungsweise das Newtonsche Abkülungsgesetz
dT=l*(U-T)dt
bzw
dT/dt=l*(U-T)
wobei T die Temperatur (in diesem Falle) des Wassers, U die Umgebungstemperatur, t die Zeit und l ein Proportionalitätsfaktor ist.
Die Temperaturänderung pro Zeiteinheit ist der Temperaturdifferenz zwischen dem Wasser und der UMGEBUNG proportional. Daher kühlt sich das 70 Grad Celsius heiße Wasser schneller auf 60 Grad Celsius ab, als das 30 Grad Celsius warme Wasser auf 20 Grad Celsius. (Bei einer konstanten Umgebungstemperatur von 20 Grad Celsius wird sich da rechnerisch in endlicher Zeit nicht auf 20 Grad Celsius abkühlen, da die Temperaturänderung pro Zeit dann gegen Null geht.)
Die sich aus den obigen Differentialgleichungen ergebende Lösung ist im Falle konstanter Umgebungstemperatur U eine Exponentialfunktion die für t–> inf einem Sättigungswert annimmt. (Falls sich die Umgebungstemperatur auch ändert, z.B. in einem sehr sehr kleinen Raum, läufts etwas anders.)
PS.: Der Trick mit der schnelleren Abkühlung funktioniert besonders gut , wenn man morgens seinen Kaffee mit Milch trinkt, der Kaffee zu heiß ist und man es eilig hat. Dann sollte man die Milch, die im allgemeinen kühl ist, erst möglichst spät in den Kaffee tun. Dabei stellt sich nämlich eine Mischtemperatur ein. Dadurch wird die Temperaturdifferenz verringert, und der Kaffee kühlt in der gleichen Zeit um weniger Grad Celsius ab.
Also Milch erst am Schluß in den Kaffee. 
Ich hoffe, daß ich helfen konnte.
Marco
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hat mir sehr geholfen
PS.: Der Trick mit der schnelleren Abkühlung funktioniert
besonders gut , wenn man morgens seinen Kaffee mit Milch
trinkt, der Kaffee zu heiß ist und man es eilig hat. Dann
sollte man die Milch, die im allgemeinen kühl ist, erst
möglichst spät in den Kaffee tun. Dabei stellt sich nämlich
eine Mischtemperatur ein. Dadurch wird die Temperaturdifferenz
verringert, und der Kaffee kühlt in der gleichen Zeit um
weniger Grad Celsius ab.
Also Milch erst am Schluß in den Kaffee.
Der Anfang ist ok, aber beim Frühstück ist Dir evtl. ein Irrtum passiert. Die Änderung der Temperatur durch Mischen ist nämlich ebenfalls der Differenz der Temperatur der beiden Flüssigkeiten proportional. Nur wenn die Milch weniger als Raumtemperatur hat, trifft Deine Annahme ein, sonst nicht. Ein trotzdem auftretender Unterschied ist auf andere Effekte zurückzuführen, z.B. die Verdunstung steigt bei höherer T. nichtlinear an, die läßt sich auch durch Pusten vergrößern.
Eberhard
Die Änderung der Temperatur durch Mischen ist
nämlich ebenfalls der Differenz der Temperatur der beiden
Flüssigkeiten proportional. Nur wenn die Milch weniger als
Raumtemperatur hat, trifft Deine Annahme ein, sonst nicht. Ein
trotzdem auftretender Unterschied ist auf andere Effekte
zurückzuführen, z.B. die Verdunstung steigt bei höherer T.
nichtlinear an, die läßt sich auch durch Pusten vergrößern.
Eberhard
klar, kalte milch und heisser kaffee gibt eine groessere abkuehlung des kaffees als kalte milch mit nicht mehr ganz so heissem kaffee - aber die ENDtemperatur ist trotzdem niedriger, wenn der kaffee von vornherein nicht so heiss ist…
und marco - der waermeleitungsansatz (dT=I*(U-T)dt )
ist von fourier, nicht von newton…
PS.: Der Trick mit der schnelleren Abkühlung funktioniert
besonders gut , wenn man morgens seinen Kaffee mit Milch
trinkt, der Kaffee zu heiß ist und man es eilig hat. Dann
sollte man die Milch, die im allgemeinen kühl ist, erst
möglichst spät in den Kaffee tun. Dabei stellt sich nämlich
eine Mischtemperatur ein. Dadurch wird die Temperaturdifferenz
verringert, und der Kaffee kühlt in der gleichen Zeit um
weniger Grad Celsius ab.
Also Milch erst am Schluß in den Kaffee.
Nur wenn die Milch weniger als
Raumtemperatur hat, trifft Deine Annahme ein, sonst nicht.
Stimmt, aber das meinte ich mit „die Milch, die im allgemeinen kühl ist“. Ich hätte besser schreiben sollen, die aus dem Kühlschrank kommt, wo sie sich auf ca. 7°C abgekühlt hat. Ich hatte wohl zu sehr an mich gedacht. (Bei mir steht die Milch zur Aufbewahrung immer im Kühlschrank.) Ich werde versuchen mich das nächste mal exakter auszudrücken.
Marco
Marco
klar, kalte milch und heisser kaffee gibt eine groessere
abkuehlung des kaffees als kalte milch mit nicht mehr ganz so
heissem kaffee - aber die ENDtemperatur ist trotzdem
niedriger, wenn der kaffee von vornherein nicht so heiss
ist…
nochmals meine Annahmen:
die Milch hat Umgebungstemperatur, Abkühlung entsprechend
dT/dt=l*(U-T), gleiche Zeiten für beide Vorgänge,
sofortige vollständige Durchmischung der beiden Flüssigkeiten.
Dann ist die ENDtemperatur immer gleich, egal, wann und wieviel Milch ich in den Kaffee schütte! Schau Dir mal die Formel für die Mischungstemperatur an. Die T-Diff. ist beim sofortigen Mischen ebenfalls größer, da sie direkt proportional zur T-Diff der beiden Flüssigkeiten ist --> Analogie zu obigem Gesetz. Habe ich früher mal nachgerechnet. Beide Formeln für die 2 Zeiten kann man ineinander überführen.
Eberhard
Der Abkühlungstrick mit der Milch funktioniert immer, selbst wenn die Milch vom Euter frisch gezapft ist und noch deutlich über Zimmertemperatur liegt. Sie muß nur kälter als der Kaffee sein. Das kann man sich auch ohne Formeln leicht klarmachen: Angenommen alle Parameter bis auf den Mischungszeitpunkt sind festgelegt. Am Anfang befindet sich im Kaffee eine bestimmte Wärmemenge. Am Ende der Messung ist ein Teil dieser Wärmemenge nach außen abgegeben worden. Die Rest-Wärmemenge verteilt sich am Ende auf die Summe der beiden Flüssigkeitsmengen und bestimmt daher auch die Endtemperatur. Wichtig ist nur, daß die Wärmeabgabe umso größer ist, je höher die Temperaturdifferenz zwischen Kaffee und Umgebung ist; proportional oder nicht, ist völlig unerheblich. Wenn ich die Milch sofort reinkippe, hat der Kaffee während der gesamten Abkühlungsphase eine niedrigere Temperatur und gibt dementsprechend weniger Wärme ab als ohne Milch. Wenn aber weniger Wärme abgegeben wurde muß auch die Endtemperatur höher sein als beim späten Mischzeitpunkt. Einzige Voraussetzung: Die Milch muß kälter als der Kaffee und die Milchmenge darf nicht so groß sein, daß sich Kühlfläche nach außen wesentlich vergrößert. Das ist in der Praxis aber immer der Fall.
Jörg
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Angenommen alle Parameter bis auf den Mischungszeitpunkt sind
festgelegt. Am Anfang befindet sich im Kaffee eine bestimmte
Wärmemenge. Am Ende der Messung ist ein Teil dieser Wärmemenge
nach außen abgegeben worden. Die Rest-Wärmemenge verteilt sich
am Ende auf die Summe der beiden Flüssigkeitsmengen und
bestimmt daher auch die Endtemperatur. Wichtig ist nur, daß
die Wärmeabgabe umso größer ist, je höher die
Temperaturdifferenz zwischen Kaffee und Umgebung ist;
proportional oder nicht, ist völlig unerheblich. Wenn ich die
Milch sofort reinkippe, hat der Kaffee während der gesamten
Abkühlungsphase eine niedrigere Temperatur und gibt
dementsprechend weniger Wärme ab als ohne Milch. Wenn aber
weniger Wärme abgegeben wurde muß auch die Endtemperatur höher
sein als beim späten Mischzeitpunkt.
nein: Annahme, Du kippst genausoviel Milch rein wie schon Kaffe drin ist, dann ist bei 70°C am Anfang und 20°C Raumtemperatur die sofortige Mischungstemperatur um 35° niedriger, beim späteren Mischen (Annahme: der Kaffee hat sich schon um 30 ° abgekühlt) ist sie nur noch ((70-30)-20)/2=30°C. Die Änderung ist im 1. Fall 35°, im 2. Fall nur noch 10°. Deshalb mein Beharren auf meiner Annahme. Die Umstellung der Formeln der 2 Fälle ineinander hat damals 2 A4-Seiten ausgemacht.
Die Milch muß kälter als der Kaffee und die Milchmenge darf
nicht so groß sein, daß sich Kühlfläche nach außen wesentlich
vergrößert. Das ist in der Praxis aber immer der Fall.
zumindest ist es eine gemachte Vereinfachung.
Wenn die Milch kälter als die Raumtemperatur ist, ist sofortiges Mischen besser, da die sich sonst erwärmt und „Kälte“ verschenkt.
Eberhard
und marco - der waermeleitungsansatz (dT=I*(U-T)dt )
ist von fourier, nicht von newton…
Zwar ist es richtig, daß Fourier etwas mit Wärmeleitung zu tun hat, das Gesetz
dT/dt=I*(U-T)
heißt dennoch das Newtonsche Abkühlungsgesetz. Siehe dazu zum Beispiel
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/4310/physik/c…
Ich könnte auch noch eine ganze Reihe Literaturverweisen geben, auf Stellen an denen das Gesetz Newtonsches Abkühlungsgesetz genannt wird.
Da aber schon eine einfache Suche im Internet den Begriff erklärt, halte ich jedes Nachschlagen für sinnlos.
Gruß
Marco
PS.: Fourier find ich aber auch toll. In der Tat hat er das Gesetz auch benutzt. Aber er lebte vom 21.3.1768 bis zum 16.5.1830. Newton hingegen vom 4.1.1643 -31.3.1727. Damit hatte Newton Glück: er war vor Fourier drauf gekommen. Dennoch hätte man natürlich das Gesetz nach ihm benennen können. Hat man aber nicht.
Hi,
hier die Rechnung.
Es gelte das Newtonsche Abkühlungsgesetz:
T=( Ta - Tu )*exp(-l*t) + Tu (1)
dabei ist Tu die Umgebungstemperatur, Ta die Anfangstemperatur der Flüssigkeit, l eine positive Konstante und t die Zeit.
Bei der Mischung von Wasser/Kaffee (w) und Milch (m) ergibt sich die Mischungstemperatur mit dem Gesetz
Mw * Cw * ( Tw - Te ) = Mm * Cm * ( Tm - Te ) (2)
Dabei ist Mw die Masse des Wassers , Cw seine Wärmekapazität, Tw seine Anfangstemperatur, Mm, Cm und Tm analog für Milch, Te ist die End- oder Mischungstemperatur.
Nimmt man jetzt
Tu = 20 °C
Tw = 70 °C
Tm = 30 °C
Mw = 100 g
Mm = 10 g
Cw=Cm
an. Bei der Mischung soll sich ferner die Oberfläche nur wenig ändern.
Betrachtet man nun den Fall
l = 0.7
und eine Abkühlungszeit von Z = 2 [In irgendwelchen zu l passenden Einheiten]
so ergibt sich für erst Mischen dann Abkühlen eine Endtemperatur von 31.43 °C.
Läßt man erst den Kaffee abkühlen und gibt dann die (nicht abgekühlte) 30°C warme Milch dazu ergibt sich: 32.11 °C.
Ist ja auch klar. Die Milch wurde länger warm gehalten.
Läßt man zu, daß sich die Milch auch abkühlt so wie der Kaffee, so ergibt sich nach dem Mischen am Ende eine Temperatur von 31.43 °C. Falls die Milch wärmer ist, als Raumtemperatur und man möchte möglichst kalten Kaffee mit Milch, kann man mischen oder zumindest beide Flüssigkeiten abkühlen lassen. Nicht die Milch weiter erwärmen! (Aber wer käme schon auf den Gedanken?)
Falls die Milch kälter als die Umgebungstemperatur ist, ist es ja sowieso klar, daß man sie erst am Schluß dazu tun sollte. (Wer’s nicht glaubt, muß selber nachrechnen!)
Gruß
Marco
PS.: Falls ich mich irgendwann mal beim Ausrechnen vertippt habe, bitte ich schon mal um Entschuldigung.