Also mein Problem ist folgendes. Nehmen wir ne ganz leicht Funktion f(x)= 3x^3. 1. Was heist das den jetz genau?? ist das die Steigung? Also kann ich anstelle von x einen Wert einsetzen und was bekomme ich dann da raus? Wenn ich die FUnktion jetzt Ableite was nützt das mit?? Also erste ableitung ist dann 9x^2 und 2. Ableitung 18x. Aber wofür leitet man ab? Nur damit es einfacher ist f(x) zu bestimme?
Hallo,
die 1. und 2. Ableitung braucht man für eine Kurvendiskussion, also die Bestimmung von lokalen Maxima und Minima. Die 1. Ableitung einer Funktion ist die Steigung der Funktion an JEDER Stelle. Also wenn f(x)=3x^3 und f’(x)=9x^2, dann ist die Steigung bei x=2: 9*2^2=36, an der Stelle x=-1 ist die Steigung von f(x): 9*(-1)^2=9.
Ich schätze, Du bist noch in der Schule, die Ableitung braucht man später noch in sehr vielen Bereichen, Mathe, Physik, Chemie, eigentlich in allen naturwissenschaftlichen Fächern.
Viele Grüße.
Also mein Problem ist folgendes. Nehmen wir ne ganz leicht
Funktion f(x)= 3x^3. 1. Was heist das den jetz genau??
Wenn du für x hier eine Zahl einsetzt bekommst du den y-Wert, also den Wert der Funktion an der Stelle x
ist das die Steigung?
Nein. Die Steigung wird durch die Ableitungsfunktion f’(x) = 9x^2 angegeben.
Die Zweite Ableitung ist die Ableitung der Ableitung. Aus ihr kannst du die Konvexität deiner Funktion (Linkskurve/Rechtskurve) ablesen.
Gruß,
Wandynsky
Also mein Problem ist folgendes. Nehmen wir ne ganz
leicht Funktion f(x)= 3x^3. 1. Was heist das den jetz
genau?? ist das die Steigung?
Also kann ich anstelle von x einen Wert
einsetzen und was bekomme ich dann da raus?
f(x) selbst gibt immer den y-Wert an: eine Funktionsgleichung hat ja immer die Form y = f(x), und wenn man eine Wertetabelle aufstellt, um den Graph zu zeichnen, dann rechnet man die y-Werte ja auch aus, indem man x-Werte in f(x) einsetzt.
Wenn ich die FUnktion jetzt Ableite was nützt das
mit?? Also erste ableitung ist dann 9x^2
und 2. Ableitung 18x.
Die erste Ableitung gibt die Steigung an (genauer eigentlich: die Steigung der Tangente für jede gewünschte Stelle x). Die (Tangenten-)Steigung bei x = 2 wäre also z. B. 9*2^2 = 36.
Die zweite Ableitung ist die Krümmung. Bei dieser ist der genaue Wert meistens nicht wichtig, sondern nur das Vorzeichen (Krümmung positiv: Graph ist linksgekrümmt; Krümmung negativ: Graph ist rechtsgekrümmt).
Aber wofür leitet man ab?
Na, eben um die Steigung und die Krümmung zu erhalten. Wofür man die braucht? Zum Beispiel bei der Kurvendiskussion und bei Extremwertaufgaben.
> Nur damit es einfacher ist f(x) zu bestimme?
Die Frage verstehe ich nicht. f(x) wird doch nicht bestimmt, f(x) ist doch schon vorgegeben? (in deinem Beispiel f(x) = 3x^3). Oder meinst du, f(x) an einer bestimmten Stelle zu berechnen, also zum Beispiel f(2)? Auch dafür braucht man die Ableitungen natürlich nicht, da setzt man einfach die 2 in den Funktionsterm ein.
P.S.: Wurde das etwa alles bei dir im Unterricht nicht besprochen??? Wenn ja, dann hast du einen reichlich seltsamen Mathelehrer…
P.P.S.: Auch wenn das hier „nur“ das Internet ist - auf Rechtschreibung kann man trotzdem achten!
Hallo,
das ist so: Die Funktion ist f(x). Diese Funktion hat einen bestimmten Kurvenverlauf. Die einzelnen Punkte der Kurve erhält man, indem man für x Werte einsetzt.
So ergibt z.B. f(2) = 3*2^3 = 3*8 = 24. Diesen Wert nennt man den Funktionswert an der Stelle x = 2. Die Kurve verläuft somit durch den Punkt P (2/24). Verbindet man alle Punkte der Kurve, so erhält man einen Funktionsgraphen. Der Graph ist in seinem Verlauf mal steiler, mal flacher. Er hat in jedem Punkt eine bestimmte Steigung, die man mit der ersten Ableitung berechnen kann. Die erste Ableitung beschreibt somit das Steigungsverhalten der Ausgangsfunktion. Hier ist das Ergebnis f’(x) = 9x^2. Will man beispielsweise wissen, welche Steigung die Funktion f(x) = 3x^3 im Punkt P (2/24) hat, so setzt man den x-Wert 2 in die erste Ableitung ein und erhält:
f’(2) = 9*2^2 = 9*4 = 36. Die Kurve hat im Punkt P (2/24) die Steigung m = 36. Die zweite Ableitung ist bei der gegebenen Funktion f’’(x) = 18*x. Mit der zweiten Ableitung wird in der Regel das Krümmungsverhalten der Kurve berechnet sowie Extremwerte der Ausgangsfunktion bestätigt oder Wendepunkte bestimmt. Dort, wo die Ausgangskurve eine Rechtskrümmung hat, ist die 2. Ableitung negativ. Wo die Ausgangskurve eine Linkskrümmung hat, ist die 2. Ableitung positiv. Dort, wo die 2. Ableitung Null wird und die dritte Ableitung ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt bei der Ausgangskurve vor. Ein Wendepunkt ist ein Punkt, in dem sich das Krümmungsverhalten verändert (entweder von Links- in Rechtskrümmung oder umgekehrt). Anschaulich gesehen ist es so, dass man sich den Kurvenverlauf als eine Straße vorstellen kann, über die man fährt. Ist es eine kurvenreiche Straße, dann geht jeweils eine Linkskurve in eine Rechtskurve über und umgekehrt. Beim Übergang hält man das Lenkrad einen Augenblick genau gerade, bevor es in die andere Richtung gedreht werden muss. Dieser Punkt ist ein Wendepunkt.
So, das muss für’s erste reichen, denn wenn ich alle Anwendungen der ersten und zweiten Ableitung beschreiben soll, kann ich ein neues Mathebuch schreiben.
Ich hoffe dennoch, dass es ein wenig hilfreich war.
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo,
Bei einer Funktion wird jedem x Wert aus einer bestimmten Menge ein y-Wert aus einer anderen oder der selben Menge zugeordnet.
z.B.:
Du schaust jede Stunde auf’s Termometer, liest die Temperatur ab und schreibst sie in eine Tabelle.
Die wertepaare bestehend aus einem x-Wert (Uhrzeit) und einem y-Wert dazugehörige Temperatur kannst du in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Beim Urhezit/Temperaturbeispiel hast du nur einzelne werte, da du ja nur immer zur vollen Stunde auf die Uhr schaust. wenn du aber ein anderes Bsp wählst oder eine Maschiene automatisch ständig die Temperatur messen und aufschreiben läßt hast du eine durchgehende Kurve.
evtl gibt es einen mathematischen Term, mit dem die die Werte dieser Kurve ausrechene kannst. Beim Temperaturbeispiel wird das schwierig.
Ein anders Bsp. wäre die Menge und der Preis von Reis.
1kg Reis kosten 1,50
2kg Reis kosten 3,- usw. Ma angenommen man könnte Reis offen in beliebiger Menge und ohne Rabatt, wenn man viel kauft bekommen, dann würde das duch die Funktion dargestellt:
jeder Mege x (in kg) wird ein Preis y in € zugeordnet.
Du kannst mit der Funktion y = 1,5*x zu jeder beliebigen Menge x den Preis y ausrechnen.
wenn du diese Funktion in ein Koordinatensystem zeichnest, dann bekommst du eine Gerade.
Soviel zu Funktionen.
es gibt viele verschiedene Sorten von Funktionsen z.B.: Geraden, Parabeln Hyperbeln, …
Wenn du eine Funktion ableitest, dann bekommst du die Steigung an der Stelle x. Steigung bedeutet, wie steil der Graph an dieser Stelle (besser die Tangente in dem Punkt an den Graphen) ist.
Bsp.: du läufst in x-Richtung also nach rechts auf einem Funktionsgraphen entlang. Stell dir einen Schnitt durch eine Landschaft vor und betrachte es von der Seite.
f’ gibt an, wie stei es an der jeweiligen Stelle ist. So bekommst du mit f’ für jede Stelle die Steigung.
Dabei ist Steigung 0 eben. Also keine Steigung
Steigung 1 ist 45° und eine negative Steigung bedeutet ein Gefälle, d.h. es geht bergab.
So.
Die 2. ableitung gibt dir an in welde Richtung der Graph gekrümmt ist. Stell dir dazu den Graph als von oben gesehene Autostraße vor. Wenn du das Lenkrad nach rechts einschlagen musst, nennt man den Graphen rechtsgekrümmt, dann ist f’’ 0 und es liegt eine Linkskrümmung vor.
So das war mal eine absolute Kurzfassung. Vielleicht hilft’s weiter.
Mit den Ableitungen bestimmt man Monotonie,Steigung,Krümmung,Extrenpunkte,Wendepunkte,löst man Extremwertaufgeben.
Kriegt ihr alles noch im Unterricht.
Genau, wie du gesagt hast, die Ableitung ist nichts andres als die Steigung der Funktion. Und da die Steigung für jede x-Wert andres sein kann, ist die Ableitung auch wieder eine Funktion.
Dafür gibt es auch natürlich sehr viele Anwendung. Ich will dich jetzt nicht mit unnötige Theorie ballern. Deswegen nur eine ziemlich anschauliche und einfache Beispiel aus der Physik. Angenommen du hast eine Funktion, die der gefahrene Weg in bezüglich Zeit t. Ableitung gibt dir die Steigung dieser Funktion, also nichts andres als die Geschwindigkeit, mit der du Gefahren bist. Also so leicht geht dann die Bestimmung der Geschwindigkeit. Und was ist dann die Steigung deiner Geschwindigkeit? Anschaulich gesehen ist das dann die Beschleunigung in dem Zeitpunkt t. Das kann man sich an sich sehr leicht vorstellen.
AN sich ohne Ableitung kann man keine vernüftige Mathematik machen
Hallo!
Ja, die Ableitung liefert die Steigung, also wenn ich x in die Ableitung von f einsetzte erhalte ich den Anstieg von f an der Stelle x.
Wozu es nützt… Dafür gibt es viele Anwendungen, z. B. kann eine Funktion unter bestimmten Zusatzbedingungen nur an den Stellen ein Extremum annehmen, an denen Steigung Null ist (abgesehen davon, daß die Steigung ja auch an sich interessant sein kann).
MfG
Stefan
Hallo.
Eigentlich ganz einfach:
- f(x): für ein eingesetztes x ergibt sich der y-Wert, sprich, wo sich der Punkt „horizontal“ abzeichnet. Aus einem x-Wert wird bei einer Funktion für einen konkreten Wert ein y-Wert zugeordnet und zwar für jeden Wert des Definitionsbereichs.
- f’(x): hier hast Du die Funktion für die Steigung der Funktion. Sprich, für jedes X kannst Du damit feststellen, welche Steigung die Tangente in diesem speziellen Punkt der Funktion hat.
- f’’(x): hier hast Du die Steigung der Ableitung. >0 heisst soviel wie, dass die Ableitung immer noch „steigt“,