Hallo Experten,
habe hier ein Gleichungssystem: 3x+y(+0*z)=12 bzw 3x+y=12 sowie x+y+z=7
habe durch Probieren herausgefunden, dass für y das Maximum bei 4,5 liegt. Ich würde das gerne durch Ableitung beweisen, habe aber stets mindestens zwei Unbekannte für den Graphen?
Könnt Ihr mir helfen? Ist sicher schnell bewiesen. Noch was: x,y und z dürfen keine negativen Werte haben!
Vielen Dank. Thomas
Hallo Experten, vielleicht sollte ich erwähnen, dass mir eher an einer allgemeinen Lösung gelegen ist: also ausgehend von 3x+y=P und x+y+z=S! Hier müsste ein allgemeiner Beweis her. Wie gesagt, x,y und z dürfen nicht negativ sein!
Vielen Dank an euch. Thomas
Ich würde die erste Gleichung nach x und y umstellen und jeweils >= Null setzen. Das ergibt Obergrenzen für x und y. Dann x(y) in die zweite Gleichung einsetzen und den gleichen Spaß für y und z wiederholen. Für y nimmst Du dann die minimale Obergrenze.
PS: Für die Obergrenze von x müsste man die dritte Gleichung auch noch nach y+z um stellen und >= Null setzen, aber wenn ich Dich richtig verstehe, dann geht es Dir nur um y.
Hallo DrStupid, vielen Dank erstmal. Konnte neben Deinen Ausführungen einen Fortschritt erzielen: Ich habe eine Variable a bestimmt, mit der folgendes gilt: y=P-a, ebenso x=a/3 und ebenso z=S-a/3-P+a! Man muss nun a so bestimmen, dass für alle x,y,z gilt: diese sind positiv.
MfG Thomas
bzw x,y,z sind positiv oder gleich null jeweils
Gemeint ist hier die Variable a, um x, y und z allgemein zu bestimmen, und nicht bezüglich des Maximums! MfG Thomas
Bezüglich des Themas Maximum fand ich die Gleichung (y in Abhängigkeit von z):
y=-0,5P-1,5z+1,5*S.
Hier sieht man, dass z=0 sein muss, damit y sein Maximum erreichen kann, da ja P sowie S Konstanten sind.
MfG Thomas
Hallo @Thomas_Spilles,
aus der Gleichung 3x+y=12 folgt unmittelbar x=4-y/3. Das setzen wir in die zweite Gleichung ein und vereinfachen,
7 = x+y+z = (4-y/3)+y+z = 4+2y/3+z.
Diese Gleichung wird mit drei multipliziert,
21 = 12+2y+3z bzw. 9 = 2y+3z.
Damit ist klar, dass y im Bereich 0 <= y <= 9/2 liegen muss.
Wir wissen an dieser Stelle also, dass der größte erlaubte Wert für y höchstens gleich 9/2 ist. Aber es könnte noch sein, dass tatsächlich nur kleinere Werte erlaubt sind. Deswegen müssen wir noch nachweisen, dass y=9/2 wirklich möglich ist.
Dazu berechnen wir für diesen Wert aus der ersten Gleichung das x:
3x+9/2 = 12 liefert sofort x = 15/6. Mit diesen Werten für x und y gehen wir in die zweite Gleichung und berechnen z:
z = 7 -15/6 -9/2 = 0.
Wir erhalten also die gültige Lösung x=15/6, y=9/2, z=0.
Und wir haben ja bereits oben festgestellt, dass es keine größeren Werte für y geben kann. Also ist 9/2 der größte Wert, den y annehmen kann.
Hier ergibt sich (wie bereits von @DrStupid gesagt) das Maximum letztlich direkt aus den vorgegebenen Grenzen, dass x, y und z alle größer oder gleich Null sind. Wir müssen also die Infinitesimalrechnung (Ableitung) gar nicht bemühen. 
Liebe Grüße
vom Namenlosen
Vielen Dank! Dein Thread war wirklich hilfreich. Ich habe übrigens, anhand von Variable a, die es zu errechnen galt (s.o.), ein kleines Programm (Makro für Excel) geschrieben:
Function y(p,s)
If p>s then a=s3-(s3-p)*1.5 else a=0
y=p-a
End function
Wäre auch dankbar für Korrekturen! Hier wird übrigens y direkt als Maximum ermittelt (aufgrund von p und s).
MfG Thomas
Hallo @Thomas_Spilles,
für die Rechnung mit P und S kannst du auch einfach meine Rechnung von oben noch einmal aufschreiben und die Zahlen 12 und 7 durch die Buchstaben P und S ersetzen. Die Argumentation geht zunächst genau so und das Ergebnis lautet
x = (P-S)/2
y = (3S-P)/2
z = 0
Hier ist nur eine Sache zu beachten. Wenn P<S ist, dann kommt ein negativer Wert für x heraus. Das darf aber nicht sein. In diesem Fall geht die Argumentation anders. Dann folgert man aus 3x+y=P, dass z <= P sein muss. Und der Wert y=P wird auch angenommen, nämlich für x=0 und z = S-P.
Das Ergebnis steckt in deiner Excel-Funktion natürlich auch drin. Um das zu sehen, muss man deinen Term nur ein bisschen umformen:
y = p-a
= p - [ s3-(s3-p)*1.5 ]
= p - [ 3s-3(3s-p)/2 ]
= p - [ 3s-9s/2+3p/2 ]
= p - [ -3s/2+3p/2 ]
= 3s/2-p/2
= (3s-p)/2.
Liebe Grüße
vom Namenlosen