Ableitung von einem Bruch mit Potenzen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!
Ich versuche seit einigen Tagen, eine Ableitung zu berechnen, aber es funktioniert leider nicht. Ich benutze dabei die Regel für Ableitungen als Quotient, denn es handelt sich um einen Bruch. Die erste Ableitung habe ich so richtig berechnet, bei der 2. bekomme ich nicht das richtige Ergebnis.
Könnten Sie mir, bitte, zeigen, was ich dabei falsch mache und was ich ändern muss, um das richtige Ergebnis zu berechnen?
Vielen Dank!
Mit freundlichen Grüßen
V.L.

f(x) =    2x   
        1 + x^2

f '(x) = -2x^2 + 2
           (1 + x^2)^2     (so weit war ich schon)

(und hier kommt mein Problem:smile:
f ‚‘(x) = -4x (x^4 + 2x^2 + 1)  -  (-2x^2 + 2)(4x^3 + 4x)
                               (1 + x^2)^3

als Zähler bekomme ich:

  • 4x^5 - 8x^3 - 4x - (-8x^5 - 8x^3 + 8x^3 + 8x) = 4x^5 - 8x^3 - 12x

sollte aber 4x^3 - 12x als Ergebnis sein!
(der Nenner ist richtig)

Was mache ich falsch???
Danke nochmals!!

#2

Hallo,

kürzestmögliche Antwort:

f’’(x) = \frac{4x^5 - 8x^3- 12x}{(x^2 + 1)^4} = \frac{4x^3 - 12x}{(x^2 + 1)^3}

Beweis von \frac{4x^5 - 8x^3- 12x}{x^2 + 1} = 4x^3 - 12x mittels Polynomdivision.

Gruß
Martin

#3

Es ist vielleicht einfacher, wenn Du die zweite Ableitung als Ableitung von

f '(x) = (-2x^2 + 2)*(1 + x^2)^(-2) = (-2x^2 + 2) * 1/(1 + x^2)^2

bestimmst, also mit der Produkt- statt der Quotientenregel, so dass Du im Nenner bei der dritten Potenz bleibst.

In der Quotientenregel wie von Dir probiert muss im Nenner das Quadrat vom Quadrat, also die vierte Potenz stehen. Die dabei resultierende Polynomdivision, um zu Grad 3 zurück zu kommen, kann man mit dem Produktansatz vermeiden.

Gruß, Lutz