Abschnittsweise definierte funktionen!

Wissenschaft Physik
#1

hallo liebe experten!!!
hoffentlich kann mir jemand helfen.
wie kann ich bei der signumfunktion, gaussklammerfunktion und heavysidefunktion beweisen, dass sie nicht differenzierbar sind?
bei der betragsfunktion hab ich das mit der ersten ableitung und grenzwertbetrachrtung gemacht.
f’(x)=-1 für x=0
lim x->+0 f’(x)=1
lim x->-0 f’(x)=-1
=> nicht differenzierbar.
die obengenannten (sgnx, [x], H(x)) funktionen kann ich aber nicht ableiten, die erste ableitung ist dann doch gleich 0, oder?
wie mach ich das nun?
dank im voraus,

Helena

#2

Signumfunktion
sgn(negativ) = -1;
sgn(0) = 0;
sgn(positiv) = 1;

ableitung außer bei 0, ist 0.
Funktion ist ja überall eine Gerade außer bei 0.

#3

Das hat Helena bei ihrem Problem, zu beweisen, daß die Signumfunktion nicht differenzierbar ist, sicher sehr geholfen.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#4

Hi,

einfach gesagt: dort, wo eine Funktion nicht stetig ist, ist sie auch nicht differenzierbar.

Etwas komplizierter: Guck Dir den Differenzenquotienten um die Sprungstelle an. Dieser muss bei kleiner werdendem Abstand immer gegen den selben Wert konvergieren.

Noch komplizierter: Der Witz an der Differenzierbarkeit ist, dass man die Funktion lokal durch eine lineare Funktion ersetzen kann, d.h. die Differenz soll von hoeherer Ordnung als linear sein (also z.B. quadratisch). Das gilt dann so auch fuer hoehere Ableitungen: zu f und x0 muss es ein Polynom p vom Grad d geben, so dass |f-p|/|x-x0|^p in x0 stetig und Null ist.

Ciao Lutz

#5

Hi Helena!
Das funktioniert nicht, weil 0 kein Häufungspunkt der Signumsfunktion ist.
Ein solcher Punkt muß folgender Definition genügen:
z ist HP von T Für alle positiven reellen DELTA exitsiert ein z’ aus T mit 0

#6

dann eben anders…
AFAIK müssen Funktionen stetig sein und keine Sprünge aufweisen um differenzierbar zu sein. Die Signumfunktion hat bei 0 einen Sprung und weist eine Unstetigkeit auf. Damit ist sie an dieser Stelle nicht differenzierbar. An allen anderen Stellen sehe ich die Funktion jedoch als stetige Gerade ohne Sprünge deren Steigung 0 ist.

#7

AFAIK müssen Funktionen stetig sein und keine Sprünge
aufweisen um differenzierbar zu sein.

Ja, das ist die Information, die Helena braucht: „Differenzierbarkeit setzt Stetigkeit voraus“ (wobei man noch hinzufügen sollte, daß es sich um eine notwendige Bedingung handelt, keine hinreichende).

Die Signumfunktion hat
bei 0 einen Sprung und weist eine Unstetigkeit auf. Damit ist
sie an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Besser kann man’s nicht erklären.

An allen anderen
Stellen sehe ich die Funktion jedoch als stetige Gerade ohne
Sprünge deren Steigung 0 ist.

Korrekt. Es ist sozusagen nur eine einzige böse Stelle, die die Funktion unstetig macht. Überall sonst ist sie „maximal brav“ (heißt: unendlich oft diffbar).

#8

Hi!

Korrekt. Es ist sozusagen nur eine einzige böse Stelle, die
die Funktion unstetig macht. Überall sonst ist sie „maximal
brav“ (heißt: unendlich oft diffbar).

Warum ist eine Gerade unendlich oft differenzierbar? Ich war immer der Meinung nach einmal ist schluß da die konstante Funktion bei der ersten Ableitung verschwindet.

*kratzamkopf*

#9

Warum ist eine Gerade unendlich oft differenzierbar? Ich war
immer der Meinung nach einmal ist schluß da die konstante
Funktion bei der ersten Ableitung verschwindet.

Re Hi,

eine konstante Funktion wie z. B. f(x)=3.82 wird beim Ableiten zur Nullfunktion: f’(x) == 0 (das „==“ soll für „identisch gleich“ stehen, d. h. „so groß an allen Stellen x“). Wenn irgendeine Größe Null wird, sagt man im Mathematiker-Jargon, daß diese Größe „verschwindet“. Bei den Funktionen kannst Du entsprechend formulieren: „Eine konstante Funktion verschwindet beim Ableiten“. Das heißt aber nur, daß sie zur Identisch-Null-Funktion wird, nicht, daß sie irgendwie ihrer Existenz beraubt wird. Die „verschwundene“ Funktion ist also immer noch da und kann folglich abgeleitet werden. Weil Du dabei immer wieder dieselbige erhälst, kannst Du das Ableiten sogar beliebig oft wiederholen.

So ist der Terminus „beliebig oft diffbar“ zu verstehen. In diesem Sinne sind auch alle Polynome „beliebig oft diffbar“ (Nullfunktion ist erreicht bei der (n+1)-ten Ableitung, wenn n der Grad des Polynoms ist, und alle folgenden Ableitungen sind ebenfalls Nullfunktionen).

MfG
Martin

#10

Hi,

Warum ist eine Gerade unendlich oft differenzierbar?

Weil sie schon die gesuchte Idealisierung ist. Die Konstante Null ist trivialerweise beliebig oft differenzierbar.

Ciao Lutz