Bezogen auf ein geeignetes Koordinatensystem mit der Einheit 1 km befindet sich ein erstes Flugzeug zum Beobachtungsbeginn im Koordinatenursprung und bewegt sich geradlinig mit einer Geschwindigkeit von 300 km/h in Richtung des Vektors(1/2/1) Ein Zweites Flugzeug befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt (20|34,2|15,3) und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 400 km/h in Richtung des Vektors (-2/2/3)
b) Zu welchem Zeitpunkt ist der Abstand zwischen den beiden Flugzeugen am kleinsten?
ich finde keinen ansatz für die b die geradengleichungen kann ich noch aufstellen aber wie gehts dann weiter. iwie muss man dass minimum berechnen aber wie?
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Gute Frage!
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Hallo Andi,
als erstes solltest du die zwei Richtungsvektoren so anpassen, dass sie nicht nur in die richtige Richtung zeigen, sondern auch die richtige Länge für die Einheit von t haben. Damit ist gemeint, dass wenn t = 1 einer Stunde entspricht, der Vektor (1|2|1) so verlängert werden muss, damit er die Länge 300km besitzt. Genauso muss der Richtungsvektor des zweiten Flugzeuges 400km lang sein. Wenn die zwei Parametergleichungen nun die Orte der Flugzeuge in Abhängigkeit zur Zeit t (in h) angeben, lässt sich mit dem Satz des Pythagoras ( r^2 = x^2+y^2+z^2 ) und jeweils mit den x,y und z-Werten der Flugzeuge (in Abhängigkeit von t) eine Formel bilden, in der nur noch t vorkommt und du durch Ableiten nach t das Minimum finden kannst.
Ich hoffe das hilft als Ansatz.
Liebe Grüße
moorb
Hallo andi563,
wie sehen denn deine Geradengleichungen aus? Die Geradengleichungen müssen ja eine Zeitabhängigkeit behinhalten, dann kannst du den zeitpunkt des minimalen abstandes bestimmen.
Wenn du deine geradengleichungen zeigst, dann können wir weiter überlegen.
Grüße
niceday
meine geraden sind einmal (20/34,2/15,3)+t * 400/wurzel 17 * (-2/2/3) und die andere:
t*300/wurzel6 * (1/3/1)
meine geraden sind einmal (20/34,2/15,3)+t * 400/wurzel 17 * (-2/2/3) und die andere:
t*300/wurzel6 * (1/3/1)
aber haben jetzt im unterricht diese lösung aufgeschrieben: (20-(800/wurzel17)-300/wurzel6, 34,2 +(800/wurzel 17)-(600/wurzel6), 15,3 +(1200/wurzel 17) - 300/wurzel6) und haben dann von diesem vektor den betrag ausgerechnet. Kannst du mir sagen wie man auf diesen Vektor kommt?
Hi,
also ich habe nach einwenig überlegen eine Lösung gefunden, von der ich annehme, dass sie richtig ist.
Deine Geradengleichungen hast du ja schon aufgestellt.
In beiden Fällen ist t die zeit und sollte in beiden Gleichungen identisch sein. Nun bestimmen wir allgemein den Abstand G, indem wir G = g1-g2 rechnen.
davon kann man den Betrag bzw. die Länge bestimmen. Damit kann man allgemein die Länge bestimmen. Diese soll ja nach Aufgabenstellung minimal werden. Wenn du die Gleichung minimierst, bekommst du die Zeit heraus.
Diese zeit ist im Augenblick in h (stunden) wenn möchtest, kannst du sie noch in sekunden umrechnen.
Meine Ergebnisse sind: 2.179 sec bzw. 0.03633 h
und der Abstand beträgt dann: 39,725 km
Ich hoffe, dass konnte dir helfen. Ich glaube, wenn ich die ganzen Formeln hinschreibe würde das eher verwirren. Frag einfach nach, wenn noch etwas unklar ist.
Hast du kontrollergebnisse gegeben?
Viele Grüße
niceday
Die Funktionen sind richtig.
f(t) = (20|34,2|15,3) + t * 400 / w(7) * (-2|2|3)
g(t) = t * 300 / w(6) * (1|2|1)
// Der Vektor von g(t) soll vermutlich (1|2|1) heißen
// Zur Vereinfachung der Gleichungen bezeichnen wir
// a = 400 / w(7)
// b = und 300 / w(6)
Daraus ergeben sich folgende Werte:
x von f: 20 + t * a * -2
y von f: 34,2 + t * a * 2
z von f: 15,3 + t * a * 3
und
x von g: t * b * 1
y von g: t * b * 2
z von g: t * b * 1
Das sind die Werte der Flugzeuge in Abhängigkeit zur Zeit t.
Jetzt könnnen wir mit dem Satz des Pythagoras eine Formel für den Abstand (in Abhängigkeit zur Zeit) aufstellen.
Für x von f schreiben wir jetzt x_f usw.
Aus den Werten und dem Satz des Pyth. bekommt man folgende Formel für den Abstand.
h(t) = w( (x_f - x_g)^2 + (y_f - y_g)^2 + (z_f - z_g)^2 )
= w( (20 + -2ta - tb)^2 + (34,2 + 2ta - 2tb)^2 +
(15,3 + 3ta - tb)^2 )
Diese Funktion kannst du ableiten und die Nullstelle suchen. Der t-Wert für die Nullstelle kannst du in h(t) einsetzen und bekommst den geringsten Abstand.
Wenn ihr die Lösung als Vektor angegeben habt, vermute ich, dass damit der Vektor vom einen zum anderen Flugzeug zu diesem t-Wert gemeint ist.
Kennt ihr schon das Skalar- und Kreuzprodukt damit kann man die Aufgabe auch lösen.