Analysis 2: Menge: Innere, Abschluss und Rand

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Es geht um Folgendes.

man soll von Mengen das Innere, den Rand und den Abschluss finden, z.B. für R²:Bᵣ(0):= {x ϵ R²:׀x׀≤r}

ich habe dafür auch eine Lösung, doch ich vertsehe einfach nicht, wieso das das Ergebnis ist, und somit kann ich andere Aufgaben nicht lösen, weil ich das Prinzip einfach nicht verstehe.
Innere: Uᵣ(0), der Rand Sᵣ{x:expressionless:x|=r},Abschluss: Bᵣ(0)

Eine andere Aufgabe z.B.:
1)
Teilmenge von R: [-1,1] -> hier wäre das Innere(-1,1), der Rand {-1,1}, und der Abschluss (-1,1)

bei einem anderen Beispiel:
(2,∞) das Innere-> (2,∞), Rand -> {2} und Abschluss
(2,∞)

Es wäre echt schön, wenn mir jemand erklären könnte, viell zuerst an dem leichten Beispiel, wieso das so ist und wir ich mir das vorstellen kann, bzw. was ich mir merken kann!

Dann noch eine Frage, es geht um offene, abgeschlossene, kompakte und zusammenhängende Mengen.
Wenn R²\Z² offen, nicht abgeschlossen, nicht kompakt aber zusammenhängend ist.
Wie kann man das herausfinden? Kann man da irgendetwas rechnen, damit man darauf kommt?

Ich hoffe, es kann mir irgendjemand helfen, ist echt dringend und wichtig und ich zerbreche mir schon die ganze Zeit den Kopf darüber aber mit den Definitionen komme ich nicht weiter.

Lg

#2

Hallo,

wie waren denn die Definitionen gleich noch mal?
Sorry, ich weiß das gar nicht mehr auswendig…

Schöne Grüße,

Manfred

#3

Hallo R.E.M.

Es sieht für mich so aus, als ob Ihnen die Begriffe offene Menge und abgeschlossene Menge Probleme bereiten.

Im Folgenden denke ich zweidimensional, damit Sie sich auf einem Blatt leicht Zeichnungen dazu anfertigen können. Sie können die Ausführungen aber sinngemäß in alle Dimensionen übertragen.
Ist eine Menge U abgeschlossen, dann kann man um jeden Punkt, der nicht zur Menge gehört, einen Kreis ziehen, dessen Schnittmenge mit U leer ist.
Ist eine Menge U offen, dann kann man um jeden Punkt der Menge einen Kreis ziehen, der eine Teilmenge von U ist.
Als Rand R von U bezeichnet man die Menge aller Punkte, bei denen jeder Kreis, den Sie um diese Punkte zeichnen, sowohl Punkte enthält, die zu U gehören als auch Punkte, die nicht zu U gehören.
Der Abschluss einer Menge U ist nun nichts anderes als die kleinste abgeschlossene Menge, die U enthält. Es handelt sich dabei um die Vereinigung von U und dem Rand von U.
Das offene von U ist die größte offene Menge, die U enthält. Das ist die Menge U ohne ihren Rand.

Insofern sind Ihre Beispiele nicht richtig. Richtig ist:

  1. [-1;1], aber auch (-1;1), (-1;1] und [-1;1)
    Inneres: (-1;1)
    Rand: {1;1}
    Abschluss: [1;1]
  2. (2;∞), aber auch [2;∞)
    Inneres: (2;∞)
    Rand: {2}
    Abschluss: [2;∞)

Weiter gilt: Eine Menge ist kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Beschränkung meint, dass es eine größte endliche Entfernung in dieser Menge gibt. Die Entfernung d zwischen zwei Punkten A,B ist dabei das Ergebnis der Metrik d angewandt auf A und B: d(A,B)
Zusammenhängend meint, dass es nicht möglich ist, eine Menge in zwei Teilmengen aufzuteilen, deren Schnittmenge leer ist und bei denen keine Punkt zum Rand der anderen Telmenge gehört.

Angewandt auf ihr Beispiel heißt das:
Sei Q = R²\Z². Das ist die zweidimensionale Fläche ohne die Punkte, deren Koordinaten ganze Zahlen sind. Sie stanzen quasi Löcher in die zweidimensionale Fläche.
Die Menge ist offensichtlich offen. Überlegen Sie selbst, warum. Sie ist ferner nicht abgeschlossen, denn jeder Kreis um den Nullpunkt enthält Elemente von Q und Elemente, die nicht zu Q gehören, nämlich mindestens den Nullpunkt. Sie ist nicht kompakt, denn die Entfernungen in dieser Menge können ins Unendliche wachsen. Den Beweis des Zusammenhangs können sie so führen: Nehmen Sie an, die hätten zwei Mengen gefunden, deren Vereinigung Q ist und deren Schnittmenge leer ist. Was bedeutet das für die Randpunkte der beiden Mengen?

Mit freundlichen Grüßen

Thomas Klingbeil

#4

Hallo! Danke für Ihre schnelle Antwort!

Das mit offen/ abgeschlossen habe ich nun verstanden, Q = R²\Z ist offen, weil wie Sie gesagt haben „Löcher“ in der Menge sind, da ja die Menge ohne die natürlichen Zahlen ist.
Kompakt ist sie nicht, weil es um ganz Q geht und der limes unendlich wird,oder?
Warum er zusammenhängend ist, ist mir jedoch nicht klar. Vielleicht, weil Q und R²\Z² gemeinsame Zahlen enthalten?
Die Randpunkte wären doch S^1∪(Z∩R²), oder?
Das Innere Q\Z
und der Abschluss R²?

Meine erste Aufgabe verstehe ich aber überhaupt nicht. Wenn Sie mir diese noch erklären könnten, wäre das echt super!
R²:Bᵣ(0):= {x ϵ R²:׀x׀≤r}(Inneres, Abschluss, Rand)

Bei manchen Aufgaben, bei denen es um Offenheit, Abgeschlossenheit geht, gibt es bei uns auch den Fall von weder/ noch.
Wieso ist bei der Menge U1(0)∪Z² die Menge weder offen noch abgeschlossen?

Mit freundlichen Grüßen, R.E.M.

Wäre schön wenn Sie mir die Lösung sagen könnten!

#5

Puuuh…
Davon hab ich keine Ahnung mehr :frowning:
Sorry.

#6

Hallo R.E.M.

Ich habe einen Namen, den Sie ja nun kennen. Warum benutzen Sie Ihn nicht? Und warum verbleiben Sie in der Anonymität? Sie könnten ja wenigstens ein Pseudonym verwenden, wenn Sie sich fürchten.
So macht es mir jedenfalls keine Freude, mit Ihnen zu kommunizieren. Das ist mir zu unpersönlich.

Ich wünsche Ihnen, dass Sie jemanden finden, den Ihre Art der Kommunikation nicht stört und der Ihnen weiterhelfen kann.

Mit freundlichen Grüßen

Thomas Klingbeil

#7

Hallo Herr Klingbeil,

es war nicht meine Absicht Sie/ dich damit zu verärgern.
Natürlich habe ich einen Namen. Ich heiße Eva.
Wenn Ihnen/ dir das lieber ist,können sie mich auch so nennen. Wusste nicht, dass es Sie/ dich stört.

Liebe Grüße, Eva

#8

Hallo Eva,

keine Sorge, Sie haben mich nicht verärgert. Wie sollte das auch gehen, wo wir uns nicht kennen. Ich lege nur Wert auf gewisse zwischenmenschliche Umgangsformen, das ist alles. Das mag jeder sehen, wie er will. Ich hege da kein Sendungsbewusstsein und finde es in Ordnung, wenn andere Menschen andere Vorstellungen vom Umgang miteinander haben. Es bleibt mir ja die Freiheit, dabei nicht mitzumachen, und diese Freiheit nutze ich nach meinem Belieben. Aber lassen Sie uns das nicht diskutieren, denn das sind Stilfragen, und meinen Stil Fremden gegenüber würde ich als höflich-distanziert bezeichnen.

Was hat es nun mit Q = R²\Z² auf sich.
Die Menge ist nicht nur offen, weil sie Löcher hat. Auch die Menge R² ist eine offene Menge. Wenden Sie die Definition einer offenen Menge auf R² an und Sie werden es sofort sehen.
Ob Q auch kompakt ist, hat nichts damit zu tun, dass die Werte der Elemente von Q gegen unendlich laufen. Es kommt auf die Metrik an, die Sie anwenden. Die übliche euklidische Metrik kann gegen unendlich laufen, andere Metriken tun das nicht unbedingt. Über die Metrik treffen Sie aber keine Aussage, sodass wir dieses Kriterium nicht benutzen können. Entscheidend für die Nicht-Kompaktheit ist hier der Umstand, dass Q nicht abgeschlossen ist.

Ihre Frage zum Zusammenhang ist zunächst sinnentstellt. Q und R²\Z² haben alle Zahlen gemeinsam, denn sie sind ja identisch. Zur Beantwortung der Frage müssen Sie sich überlegen, was passiert, wenn Sie Q ind zwei disjunkte Teilmengen A und B zerlegen. A und B haben auch Randpunkte, die nicht zu Z² gehören. Ein solcher Randpunkt muss Element von A oder von B sein, denn er gehört zu Q und die Vereinigung aus A und B ist ja gerade Q. Dieser Randpunkt ist aber auch Randpunkt der jeweils anderen Menge (warum?). Damit ist eine Zerlegung nicht möglich, die die Voraussetzungen für eine nicht-zusammenhängende Menge erfüllt. Eine nicht nicht-zusammenhänge Menge ist aber zusammenhängend, denn ein logischer Grundsatz lautet tertium non datur, d.h., eine Aussage in der Mathematik ist wahr oder falsch, etwas Drittes gibt es nicht.

Sie schreiben in Ihrer Nachricht Q = R²\Z. Das ist doch ein Schreibfehler, oder? Z ist nämlich keine Teilmenge von R², sondern hat eine völlig andere Struktur, die den Term R²\Z sinnlos erscheinen lässt. Falls es kein Schreibfehler ist, müssten Sie mir erklären, wie R² und Z definiert sind.
Ich gehe im Weiteren davon aus, dass Sie Q = R²\Z² meinen.
Dann wären die Randpunkte von Q die Menge Z², das Innere wäre Q und der Abschluss wäre R².

Ihre erste Aufgabe beschreibt eine abgeschlossene Scheibe um den Nullpunkt mit dem Radius r.
Abschluss: {x ϵ R²:׀x׀≤r}
Inneres: {x ϵ R²:׀x׀

#9

Hi, na dann versuch ich mal dir zu helfen:

Ein Universalweg gibt es eigentlich nicht um das Innere oder Äußere zu bestimmen.
Du musst die Menge dir am besten bildlich vorstellen erstmal. Überlege, welche Elemente aus deiner Menge nur von anderen Elementen dieser Menge umgeben sind und welche Elemente die „Außenwelt“ berühren. Die Inneren Punkte „schwimmen in der eigenen Suppe“ sozusagen und die Randpunkte haben so etwas wie Boden. Sie berühren also den Teller.

BTW: Der ABschluss ist das Innere + Rand. ALso ist der Abschluss von [-1,1], [-1,1[,]-1,1[,]-1,1] und ]-1,1[= [-1,1].

Zur anderen Frage:
AUch kein Universalprinzip. Da muss man alles einzeln betrachten und überlegen. AM besten sich das Problem verbildlichen, „was ist das eigentlich“. MEhr kann ich dir da leider nicht sagen. sorry

#10

Sorry, da muss ich passen.