Analyt. Geom. komplanar – lin. abhängig

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

drei Vektoren sind komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen. Dann sollen sie auch lin. abhängig sein, weil bei drei Vektoren in der Ebene sich immer einer als Vielfachensumme der anderen beiden darstellen lässt.
Aber stimmt das? Ich kann doch auf ein Blatt Papier (Ebene) drei Vektoren a, b und c zeichnen, von denen a und b parallel sind und c senkrecht zu den beiden steht (also –, ––––– und |). Dann könnte ich c nicht als Linearkombination (Vielfachensumme) von a und b darstellen und doch wären alle drei in einer Ebene, also komplanar.

Habe ich hier etwas übersehen? Die Bücher sagen, dass drei linear abhängige Vektoren immer auch komplanar sind und umgekehrt.

Vielen Dank und beste Grüße
Tychi

#2

Hallo,

also –, ––––– und |

gute Verbildlichung :smile:

Dann könnte ich c nicht als Linearkombination (Vielfachensumme) von a und b darstellen

Das ist zwar richtig, aber nicht das Kriterium zur Entscheidung der Frage nach linearer Unabhängigkeit. Deine drei Vektoren sind definitionsgemäß linear abhängig, weil sich der Nullvektor nichttrivial als LK dieser Vektoren darstellen lässt (das ist das richtige Kriterium), nämlich durch

5 mal „–“ plus (–1) mal „–––––“) plus 0 mal „|“ = Nullvektor.

Wenn Du also in einem 75-dimensionalen Vektorraum 75 Vektoren rumliegen hast und nur zwei davon sind parallel, dann heißt der ganze Haufen „linear abhängig“. Auch wenn die restlichen 73 Vektoren zufällig alle linear unabhängig voneinander sind. In einem gigantischen linear abhängigen Set von Vektoren kann es also riesige linear unabhängige Subsets geben (natürlich auch mehrere davon!). Wenn aber irgendein Vektoren-Set linear unabhängig ist, dann sind alle diese Vektoren auch paarweise untereinander linear unabhängig. Das macht die lineare Unabhängigkeit zu einer sehr „starken“ Eigenschaft.

Gruß
Martin

#3

Hallo Martin,

ich hätte auch einfach mal bei Wikipedia nachlesen können. Dort steht auch das, was du sagst, dass sich bei lin. Unabhängigkeit keiner der Vektoren als LK der anderen darstellen lässt. Ich hatte es vorher so verstanden, dass Vektoren lin. abhängig sind, wenn sich jeder als LK aller anderen darstellen lässt.
Zwei Vektoren sind immer lin. unabhängig, wenn sie nicht parallel sind. Richtig?
Kommt nun ein dritter hinzu, der in derselben Ebene liegt, wie die anderen beiden, dann sind die drei immer lin. abhängig. Deshalb ist die Frage nach der lin. Abhängigkeit ein geeignetes Kriterium für Komplanarität.
Wenn der dritte Vektor schräg zu Ebene der ersten beiden steht, sind die drei dann lin. abhängig oder unabhängig? Müssen drei Vektoren alle senkrecht zueinander stehen, damit sie lin. unabhängig sind? Das habe ich noch nicht ganz verstanden.

Vielen Dank nochmals,
Tychi

#4

Hallo Tychi,

[…] dass sich bei lin. Unabhängigkeit keiner der Vektoren als LK der anderen
darstellen lässt. Ich hatte es vorher so verstanden, dass Vektoren lin. abhängig sind, wenn :sich jeder als LK aller anderen darstellen lässt.

richtig. Am Beispiel einer Gemüsekiste voller Paprikafrüchte: Die Eigenschaft (a) „Alle Paprika in der Kiste sind rot“ und die Eigenschaft (b) „Keine Paprika in der Kiste ist grün“ sind nicht komplementär zueinander. Denn wenn die Kiste z. B. einen Mix aus roten, gelben und grünen Paprika enthält, dann fehlt es ihr sowohl an der Eigenschaft (a) als auch an der Eigenschaft (b). Welches die logisch korrekten komplementären Eigenschaften zu (a) und (b) sind, kannst Du Dir selbst überlegen.

Zwei Vektoren sind immer lin. unabhängig, wenn sie nicht parallel sind. Richtig?

Ja.

Kommt nun ein dritter hinzu, der in derselben Ebene liegt, wie die anderen beiden, dann sind
die drei immer lin. abhängig.

Ja. Allgemeiner: Jede „zu große“ Kollektion von Vektoren ist automatisch immer linear abhängig, wobei mit „zu groß“ gemeint ist, dass die Zahl der Vektoren die Dimension des Raums übersteigt (in Deinem Fall existieren drei Vektoren in einer 2D-Ebene → linear abhängig).

Wenn der dritte Vektor schräg zu Ebene der ersten beiden steht, sind die drei dann lin. :abhängig oder unabhängig?

Unabhängig – vorausgesetzt, die ersten beiden sind auch schon unabhängig voneinander (= nichtparallel).

Müssen drei Vektoren alle senkrecht zueinander stehen, damit sie lin. unabhängig sind?

Ein möglicher Schnelltest zur Klärung dieser Frage wäre etwa das Set (1, 0, 0) und (1, 1, 0) und (1, 1, 1). Diese Vektoren sind offensichtlich einerseits schön schief zueinander (Du kannst natürlich auch fix die drei Skalarprodukte im Kopf ausrechnen), und andererseits wirst Du auch rasch sehen, dass α (1, 0, 0) + β (1, 1, 0) + γ (1, 1, 1) = (0, 0, 0) nur die Triviallösung α = β = γ = 0 besitzt.

Oder um die Antwort vorwegzunehmen: Nein, natürlich nicht. „Paarweise orthogonal“ impliziert zwar lineare Unabhängigkeit ein (ist also ein noch edleres Feature), aber beileibe nicht umgekehrt.

Gruß
Martin

1 Like
#5

Danke
Du hast mir sehr geholfen und kannst gut erklären.