Ich habe es so verstanden:
AN fährt mit privatem PKW zur Arbeitsstätte und arbeitet dort von 10:00 bis 12:15 Uhr.
Dann fährt er mit dem Firmenfahrzeug nach Hause und anschließend wieder zur Betriebsstätte, wo er um 14:30 Uhr seine Arbeit (Vertretung) wieder aufnimmt.
Ich sehe dann auch diese Fahrten als Privatsache an.
Ich könnte mir vorstellen, dass das anders aussieht, wenn er den Kollegen an einer anderen Betriebsstätte vertritt. Wenn der AN am Morgen an seiner regelmäßigen Arbeitsstätte in Lennestadt arbeitet (und diese auch so im AV als Arbeitsort festgelegt ist) und er die Vertretung am Nachmittag in der Niederlassung Winterberg leistet, dann halte ich die Fahrzeit zu dem Arbeitsort, der nicht seine vertragliche feste Arbeitsstätte ist, für zu bezahlende Arbeitszeit.
Dazu müsste @Caro2000 aber mal genauer beschreiben, wohin ihr Vater da fahren musste.