Anzahl der möglichen Anordnungen von Quadraten

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Hallo,

habe mir ein Rätsel überlegt, zu dem ich selbst die Lösung noch nicht kenne:

Ihr kennt Tetris. Da werden 4 Quadrate in unterschiedlichen Anordnungen gestapelt. (Es geht mir aber nicht direkt um’s Tetris…) Es gibt sieben unterschiedliche Anordnungen dieser Quadrate.

Bei 3 Quadraten gibt es zwei und bei 1 und 2 Quadraten jeweils eine Möglichkeit unterschiedlicher Anordnung. Bei 5 Quadraten komme ich bisher auf siebzehn Möglichkeiten.

Die bisherige Folge ist also eins, eins, zwei, sieben, siebzehn.
Wie lautet die Funktionsgleichung für die Anzahl an Möglichkeiten in Abhängigkeit von der Anzahl an Quadraten, die einem zur Verfügung stehen (notfalls mit Weglassen des ersten und zweiten Gliedes der Folge)? Gibt es eine geometrische Begründung?

Vielen Dank,
Spiff

#2

Hallo!

Interessante Frage. Eine ganz ähnliche Frage taucht in der Chemie auf: Wie viele Strukturisomere gibt es für ein Alkan mit gegebener Anzahl von C-Atomen?

Dazu habe ich folgende Publikation gefunden:
http://www.wm.uni-bayreuth.de/fileadmin/Sascha/Publi…

Dort steht auch der Satz: „Es gibt definitiv
keine einfache Formel für die Anzahl der Isomere der Alkane.“

Das lässt die Hoffnung auf eine Lösung für Dein Problem schwinden. Allerdings sind die beiden Probleme nur verwandt, nicht identisch. z. B. werden bei Dir nur Figuren als „gleich“ angesehen, wenn sie im geometrischen Sinne kongruent sind, wenn sie sich also durch Drehungen und Spiegelungen in einander überführen lassen. In der Chemie sind die C-Atome um die Achse der Bindungen drehbar. Daher gelten in der Chemie Strukturen als identisch, die in Deinem Sinne nicht identisch wären, z. B.

C - C - C = C - C
 |
 C 
 C
 |
C - C - C - C = C - C = C - C = usw.
 | | | 
 C C C

(H-Atome der Einfachheit halber weggelassen)

In der Chemie kommt es nur auf Anzahl und Positionen der Verzweigungen an.

Michael

#3

Zum selber weitersuchen
Hi,
is sich alles nich so einfach.
Mit 5 Quadraten sollten es übrigens nur 12 Formen sein (Stichwort: Pentominos).

Allgemein Weiterführend ist eine Suche nach Polyominos (de) bzw. Polyominoes (en).

Zum Einstieg vielleicht Andrew Clarke: http://www.recmath.com/PolyPages/PolyPages/Polyomino…

Gruß,
KHK

#4

Sehr vielen Dank Euch beiden. Wenn man den Namen des Dinges kennt, das man sucht, ist es doch einfacher.
Gruß,
Spiff