Nö. Es „zieht“ überhaupt keinen Kasus „nach sich“. Der Kasus hat - wir hatten schon viele Beispiele - hier gar nichts mit dem Verb zu tun, sondern mit der Präposition. Bei „auf“ ist es halt eine Präposition, die zwei Kasus regiert:
Bei „auf der Suche“ bildet „auf“ ein Orts-Adverbial zu sein („wo bin ich?“), daher „auf“ mit Dativ.
Analog:
„Sie ist im dritten Monat“
„Ich bin im Keller“
„Sie ist auf Wolke Sieben“
„Er ist auf Weltreise“
„Sie ist auf dem besten Wege der Besserung“
„Er ist hinter dem Mond“
„Ich bin bei dir“
Bei „auf die Suche“ bildet „auf“ ein Präpositionsobjekt zu sich machen („auf was mache ich mich?“, „wohin mache ich mich?“). Daher hier „auf“ mit Akkusativ.
Gruß
Metapher