Ich bin über folgende Aufgabe gestolpert:
Seien A,B Mengen und f : A → B eine Funktion. Zeigen Sie: 1. Für Teilmengen X,Y ⊆ B gilt f−1(X ∩ Y ) = f−1(X) ∩ f−1(Y ).
Könnte mir jemand in Worten erklären, was genau hier gefragt wird (f-1 heißt hier f hoch minus eins).
Hallo,
die Funktion f bildet Elemente aus A auf Elemente von B ab. f^-1 ist die Umkehrfunktion und bildet Elemente von B auf ihre Urbilder aus A ab.
Du müsstest erst einmal klären, was das Bild einer Menge ist. Denn rein formal bildet f nur Elemente ab und nicht ganze Teilmengen. Ihr habt das sicher irgendwo definiert. Ansonsten würde ich davon ausgehen, dass dabei die Menge der Bilder der Elemente entsteht. Also:
X = {x1, x2 … xn} \subseteq A
f(X) = { f(x1), f(x2) … f(xn)} \subseteq B
Deine Aufgabe ist nun, zu beweisen, dass das Urbild der Schnittmenge von X und Y gleich der Schnittmenge der Urbilder von X und Y ist. Die o.g. Definition hilft dir dabei. Ich würde damit anfangen, die relevanten Mengen formal zu charakterisieren.
Nico
Hi
f^{-1} bezeichnet hier die Urbildabbildung, die Mengen von Werten auf Mengen von Urbildern abbildet. Im Gegensatz zur (genau so bezeichneten) Umkehrfunktion existiert diese immer. Das Urbild kann auch die leere Menge sein.
Gruß, Lutz
Hi,
die Funktion bildet ihre Definitionsmenge (A) auf die Wertemenge (B) ab. Beispiel: f(x) = x^2 mit A = [-2;2]. Wenn man für x Werte zwischen -2 und 2 einsetzt (also aus A), dann kommen Ergebnisse zwischen 0 und +4 heraus. Die Wertemenge B lautet also [0;4].
Die Aufgabe verlangt nun den Umkehrschluss. f-1 bedeutet die Umkehrfunktion, in meinem Beispiel wäre das Wurzel(x). Jetzt wählt man sich zwei Mengen X und Y aus der Wertemenge B. Dabei müssen dies echte Teilmengen sein, also z. B. X=[0;1] und Y=[2;3]. Diese Menge dürfen auch gemeinsame Elemente haben, also z. B. X=[0;2] und Y=[1;3], wobei Zahlen zwischen 1 und 2 gemeinsam wären. Mit dieser zuletzt genannten Schnittmenge wird nun gearbeitet.
In Prosa heißt die Aussage nun: Die Zahlenmenge, die aus der Umkehrfunktion herauskommt, wenn man alle Zahlen der Schnittmenge von X und Y einsetzt, entspricht der Zahlenmenge, die herauskommt wenn man zunächst alle Werte aus X in die Umkehrfunktion einsetzt und dann alle aus Y und die Schnittmenge aus den beiden so erhaltenen Ergebnissmengen bildet.
Der Beweis gelingt, weil das ursprüngliche f eine Funktion ist (und keine Relation oder einfache Zuordnung).
MfG
FHL
Vielen Dank, hat mir auf jeden Fall weitergeholfen.
Ich bedanke mich für die ausführliche Antwort.