Aufgabe Rubidium-Strontium-Datierung

Wissenschaft Physik
#1

Verdammt, einmal ist die Aufgabe ein Bisschen andersherum gestellt, schon versage ich; daher bitte ich demütigst um Hilfe:

Welches Isotopenverhältnis von (87Sr/86Sr) erwarten Sie für eine 3,0 Milliarden Jahre alte Granitprobe, in der das 87Rb/86Sr Verhältnis = 2.0 ist? (Halbwertszeit 87Rb = 48,8 Milliarden Jahre, Ausgangskonzentration (87Sr/86Sr)/(87Rb/86Sr) = 0,705.

Ich habe die Aufgabe zeichengenau (mit Tippfehlern) abgetippt, da sie zur reinen Einsetzaufgabe wird, wenn man den mittleren Bruchstrich der „Ausgangskonzentration“ als „bzw.“ bzw. „oder“ interpretiert. Und im Moment kann ich nicht mit letzter Entschlossenheit ausschließen, dass wir dazu genötigt sein werden :-p.

Die Gleichung, in die einzusetzen dann die Aufgabe wäre, die für diese Aufgabe aber wohl ohnehin nötig sein wird, ist:

87Sr/86Sr = (87Sr_0/86Sr_0) + (87Rb/86Sr) (e^(λ*t) - 1)
_____________–>"_0" soll eine Null im Index sein und anzeigen, dass es sich um die Ausgangskonzentration handelt.

Weiterhin nützlich könnte noch sein:

D = P(t)(e^(λt) - 1), mit D für Tochterisotop (von daughter) und P für Mutterisotop (P für parental)

und selbstverständlich das Zerfallsgesetz:

P(t) = P_0 * e^(-λt)

Vielen Dank für eure Hilfe!
Matthias

#2

Wieviel Rubidium ist denn nach drei Mrd a zerfallen? Vielleicht fängst Du damit an?

#3

Ich sehe noch immer nicht, worauf das rausläuft, deshalb spiele ich das Spiel gerne mit ;-).

Um das alles mal nachvollziehbar zu halten:

Aus der Tatsache, dass nach der Halbwertszeit die Hälfte der Substanz zerfallen ist, in das Zerfallsgesetz eingesetzt, folgt ja:
P(T1/2) = P0/2 = P0 * e^(-λT1/2) |:(P0) |ln(…)
-ln(2) = -λT1/2 |:(T1/2) |(-1)
λ = ln(2)/T1/2
So habe ich λRb = ln(2)/ 48,810^9 a errechnet. Ins Zerfallsgesetz eingesetzt ergibt:
P(310^9 a) = P0 0.9582836042 <-- ist noch übrig bzw. 0.0417163958*P0 ist zerfallen

PS: Ich will meine TeX-Umgebung für Formeln zurück :-/

#4

Ich glaube, ich habe die Aufgabe in einem zweiten Anlauf gelöst:

Zunächst: der Ausdruck „Ausgangskonzentration (87Sr/86Sr)/(87Rb/86Sr) = 0,705“ meinte tatsächlich (87Sr/87Rb)_t0 = 0,705.

Es fehlte ja für die allgemeine Gleichung

(Gleichung 1) 87Sr/86Sr = (87Sr_0/86Sr_0) + (87Rb/86Sr) (e^(λ*t) - 1)

nur noch as Verhältnis der Anfangskonzentrationen von 87Sr zu 86Sr (87Sr_0/86Sr_0).
Dieses lässt sich auch schreiben als (einfach mit 1/87Rb_0 erweitern):

(Gleichung 2) (87Sr_0/87Rb_0)/(86Sr_0/87Rb_0).

Es fällt gleich auf, dass wir den Bruch über dem großen Bruchstrich (87Sr_0/87Rb_0) bereits gegeben haben. Weiterhin können wir das Zerfallsgesetz auch auf das Verhältnis (87Rb/86Sr) anwenden (wenn man eine e-Funktion durch eine Konstante teilt, hat man immer noch eine e-Funktion). Damit können wir das Verhältnis 87Rb_0/86Sr_0 ausrechnen (sprich "87Rb/86Sr(310^9 a)" als 87Rb/86Sr von 310^9 Jahren):

87Rb/86Sr(310^9 a) = (87Rb_0/86Sr_0) * exp(- (ln(2) / 48,810^9 a) * 3*10^9 a) = 2,0
Diese Gleichung (also ohne das was vor dem ersten = steht) teilen wir durch den Exponentialausdruck und erhalten:

87Rb_0/86Sr_0 = 2/ exp(-3*ln(2)/48,8) = 2,087064822.

Den Kehrwert hiervon setzen wir in Gleichung 2 ein:

87Sr_0/86Sr_0 = 0,705/ (1/ 2,087064822) = 1,4713807.

Einsetzen in Gleichung 1 ergibt:

87Sr/86Sr(310^9 a) = 1,4713807 + 2,0(exp(-3*ln(2)/48,8) - 1) = 1,387947908