Hi ich sitze gerade an ein paar übungen für meine prüfungen und hab mich gefragt ob mir jemand weiterhelfen könnte 
Aufgabe:
Wo liegen alle komplexen Zahlen z=x+jy mit der Eigenschaft |(z-3)/(z+3)|=2
Bestimmen sie Radius und Mittelpunkt des Kreises
vielen dank im voraus 
Hallo,
die Aufgabe schaffst du mit der „1-Erweiterung“, zumindest haben meine Mathelehrer das so genannt. Es gilt
ja x = x *1 = x * y/y und so erweitere mit
|(z-3)/(z+3) |= | (z-3)/(z+3) * (z-3)/(z-3) |
= | (z-3)^2 / (z+3)*(z-3) | = 2
Wenn du jetzt noch z= x + iy einsetzt und
die 3. binomische Formel anwendest
( a + b)*(a - b) = a^2 - b^2
mit a = x+3 (reeller Teil von z) und
b = iy (imaginaerer Teil von z)
dann bekommst du eine reelle Zahl im Nenner und kannst dann nach x oder y aufloesen.
Hoffe die kurze Anleitung reicht.
Schoenes Wochenende,
Benjamin
hallo und danke für die schnelle antwort , doch so ganz versteh ich das jetzt nicht
wenn ich den nenner mit x-3 erweiter erhalte ich
(x+iy+3)(x+iy-3)
und davon die 3 . binomische formel ist doch dann
(x+iy)^2 -9
und so wirklich ist mir auch nicht klar wie mir das alles helfen soll um zu bestimmen wo die zomplexen zahlen liegen , bzw wie ich den kreis angeben kann
lg max
ich meinte natürlich mit z-3 erweitere
Hi,
so weit stimmt deine Rechnung …
nur ich hab 'nen Fehler eingebaut ^^ den ich grad gesehen habe. Meine Erweiterung ist falsch, die richtige lautet
(z-3)/(z+3) = (z-3)/(z+3) = ( [x-3] + iy )/( [x+3] +iy)
= ( [x-3] + iy )/( [x+3] +iy) * ([x+3]- iy )/( [x+3] -iy)
= ( [x-3] + iy )*([x+3]- iy )/ (([x+3] +iy)*( [x+3] -iy))
Damit ist der Nenner (hier 3. bin.-Formel)
([x+3] +iy)*( [x+3] -iy) = [x+3]^2 - i^2 y^2 = [x+3]^2 + y^2
= x^2 + 6x + 9 + y^2
und der Zaehler
([x-3]+iy )*([x+3]-iy ) = (x-3)(x+3) - i^2 y^2
= x^2 -9 + y^2
und somit lautet die Gleichung nach Umformung
|x^2 -9 + y^2| = 2 * |x^2 + 6x + 9 + y^2 |
sofern ich mich nicht wieder vertan habe
Allerdings ergibt sich eine vernünftige Lösung bei wolfram alpha ^^
ich hoffe du kommst damit weiter, und sorry, heut’ ist nicht mein Tag …
Schönen Abend noch,
Benjamin
ich meinte natürlich mit z-3 erweitere
also ich bin etwas verwirrt , denn ich hab noch eine weitere lösung bekommen und da kommt was anderes raus wobei ich sagen muss das deine mit etwas logischer erscheint
|(z-3) / (z+3)| = 2
|(x-3)+iy| = 2* |(x+3)+iy|
(x-3)^2 + y^2 = 4(x+3)^2 +4 y^2
(x-3)^2 -4(x+3)^2 = 3y^2
und ich hab beide gleichungen mal in wolfram alpha eingegeben und da kommen unterschiedliche sachen raus
wobei ich mich frage ob der fehler bei dem quadriern vielleicht liegt? oder ist seine umforumung doch korrekt?
mfg max
Hi,
in dieser Lösung liegen zwei Fehler vor, denn
|(x-3)+iy| = 2* |(x+3)+iy| quadrieren sollte
( (x-3)+iy)^2 = 4 ( (x+3) +iy)^2
(x-3)^2 + 2(x-3)iy - y^2 = 4 [(x+3)^2 + 2(x+3)iy -y^2]
(x-3)^2 + 2(x-3)iy - y^2 = 4(x+3)^2 +8(x+3)iy -4y^2
(x-3)^2 + 2(x-3)iy = 4(x+3)^2 + 8(x+3)iy -3y^2
ergeben. das quadrieren der beiden Seiten ist falsch und i^ 2 = -1 fehlt in der Lösung (daher auch -y^2).
man kann jetzt hiermit weiter rechnen, aber die imaginären Werte kriegt man so nicht aus der Gleichung.
Bei meinem 2. Ansatz mit richtiger Erweiterung gibt es keine imaginären Werte mehr in der Gleichung und man kann dann nach etwas Rechnerei nach x bzw y auflösen.
Wünsch eine gute Nacht, vllt. gibts morgen ja eine Erleuchtung bei einem von uns…
Benjamin
Hallo Freakcity26,
ich hoffe, das hilft dir:
http://imageshack.us/photo/my-images/255/www20130111…
Gruss SdV
Aufgabe:
Wo liegen alle komplexen Zahlen z=x+jy mit der Eigenschaft
|(z-3)/(z+3)|=2Bestimmen Sie Radius und Mittelpunkt des Kreises
hi,
nach dem ich ein weitere lösung mit dem quatrieren als ansatz bekommen habe, hab ich mich mal schlau gemacht und nach rechenregel gesucht für beträge.
http://de.wikipedia.org/wiki/Betragsfunktion
dabei bin ich darauf gestoßen. unter dem unterpunkt „beispiel“ steht eine umformung für |3+4i|. nach ein paar schritten kommt dann dafür heraus sqrt(3^2+4^2).
dies ist der link den ich erhalten habe als lösung
http://imageshack.us/photo/my-images/255/www20130111…
lg max
vielen dank , die lösung war sehr gut und leicht verständlich
Ernennung zum Premium-Frager
Das ist schön, und schön ist es auch, wenn der Fragende den Antwortenden das wissen lässt.
komplexe zahlen = keine ahnung davon . . . .
sorry
Hast du schon mal probiert einfach die Gleichung z=x+jy in deine Eigenschaftsgleichung einzusetzen, den Betrag aufzulösen und somit eine vereinfachtete Form zu bekommen.
Ich glaube dann ist der Radius und der Mittelpunkt des Kreises auch nicht mehr das Problem.
Tut mir leid soweit bin ich noch nicht.
|(z-3)/(z+3)|=2
Bestimmen sie Radius und Mittelpunkt des Kreises
\left\lvert \frac{\sqrt{(x-3)^2+y^2}}
{\sqrt{(x+3)^2+y^2}}\right\lvert =2 \Rightarrow
\frac{x^2-6x…}{x^2+6x…}=4 \Rightarrow
x^2+y^2+10x+9=0 \Rightarrow
mit Formelsammlung, …:
r=4, M(-5|0)
