Aufgabe zur Funktionentheorie

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich bearbeite gerade eine Übungsaufgabe zur Funktionentheorie. Sie lautet:

Gibt es eine auf dem Einheitskreis (Kreis um den Punkt 0 mit Radius 1) holomorphe Funktion f mit der Eigenschaft:

\left | f^{(n)} (0) \right | = (n!)^2 \quad \ \forall\ n=1,2,3,…

Das f^{(n)} bezeichnet übrigens die n.-te Ableitung von f .

Also, ich habe ein wenig herumgerechnet und bin zum Ergebnis gekommen, dass zum Beispiel

f(z):=\sum_{n=0}^\infty n! \cdot z^n

diese Eigenschaft hat.

Aber nach der Formel von Cauchy-Hadamard ist der Konvergenzradius dieser Funktion 0, also ist die auch nicht holomorph, oder?
Eigentlich ist die Funktion nicht mal wohldefiniert, weil sie ja für keine einzige komplexe Zahl konvergiert.

Ich habe also den Verdacht, dass es so eine Funktion mit diesen Eigenschaften gar nicht gibt.

Nur, wie beweist man das? Wahrscheinlich ist das sinnvollste ein Beweis durch Widerspruch. Ich nehme an, dass es so eine Funktion gibt und führe das zu irgend einem Widerspruch. Aber ich trete da ehrlich gesagt auf der Stelle. Deshalb würde ich euch bitten, mir dabei zu helfen.

Danke für eure Bemühungen im Voraus!

Freundliche Grüße

Lisa

Im Übrigen ist das keine Übungsaufgabe, die ich einreichen muss oder auf die es Punkte gibt. Ich mache das nur zu meinem eigenen Verständnis.

#2

Hi,

wenn die gesamte Kreisscheibe als Holomorphiebereich gemeint war, dann ist das schon die Begründung. Funktion müsste mit ihrer Taylorreihe übereinstimmen, auf einer offenen Umgebung des Entwicklungspunktes, die es aber hier nicht gibt.

Alternativ kannst Du die Cauchysche Integralformel verwenden, und deren Ableitungen, um eine Abschätzung der Ableitungen im Nullpunkt durch die Werte auf dem Einheitskreis (also wirklich nur der Kreis) zu erhalten. Sollte M*n! sein, M=max |f(z)|. Die steht dann auch im Widerspruch zur Aufgabenstellung.

Gruß, Lutz

#3

Hallo,

danke für die Antwort.
Ja, es ist die gesamte Kreisscheibe bei der Aufgabe gemeint, nicht nur der Rand.

Das mit der Taylorreihe verstehe ich. Wenn man f um z=0 entwickelt, ist die Taylorreihe f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n und folglich muss \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = n! und daher \left |f^{(n)}(0) \right |=(n!)^2 gelten. Weil das aber für keine komplexe Zahl konvergiert, existiert so eine holomorphe Funktion mit dieser Eigenschaft nicht.

Bei dem anderen Beweis mittels Cauchy Integralformel bekomme ich die Abschätzung nicht richtig hin (im Folgenden ist K(0,1) die Kreisscheibe um 0 mit Radius 1):

f^{n}(z)=\frac{n!}{2 \pi i} \int_{\partial K(0,1)}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi

\Rightarrow \left |f^{n}(0) \right |=\left |\frac{n!}{2 \pi i} \int_{\partial K(0,1)}\frac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}d\xi \right | \leq \frac{n!}{2 \pi i} \int_{\partial K(0,1)}\left | \frac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}\right | d\xi

\leq \frac{n!}{2 \pi i} \cdot max_{\xi \in \partial K(0,1)} f(\xi) \cdot \int_{\partial K(0,1)} \frac{1}{\left | \xi^{n+1} \right |} d\xi

Ich habe mittels der Parametrisierung t \to \exp(it) berechnet, dass das letzte Integral gleich null ist, aber es hat eine Singularität bei 0, also kann es eigentlich nicht 0 sein. Wo ist da der Haken?

Und selbst wenn das Integral gleich 2 \pi i ist (wie ich vermute), warum ist das dann ein Widerspruch?

MfG
Lisa

#4

Hallo Lisa.

Ich habe mittels der Parametrisierung t \to \exp(it)
berechnet, dass das letzte Integral gleich null ist, aber es
hat eine Singularität bei 0, also kann es eigentlich nicht 0
sein. Wo ist da der Haken?

Der Integrand hat eine Polstelle im Inneren des geschlossenen Integrationsweges, sodass das Integral mit dem Residuensatz ausgewertet wird. Vielleicht löst das den Haken?

Liebe Grüße,

The Nameless

#5

Hallo,

den Residuensatz kenne ich noch nicht. Wie kann man es anders lösen?

MFG
Lisa

#6

Hi,

nein, Du kannst komplexe Wegintegrale nicht so abschätzen. Die meist gebrauchte Abschätzung lauten

Maximum des Betrags des Integranden mal Weglänge.

Daraus ergibt sich, dass die Ableitungen maximal wie n! wachsen können.

Gruß, Lutz

#7

Hi,

Residuensatz hilft hier nicht, weil die Abschätzung durch die Werte auf der Kreislinie erfolgen soll. Ansonsten steht das Residuum schon da, es ist die n-te Ableitung im Nullpunkt. Was für den angedachten Zweck ein Zirkelschluss wäre.

Gruß, Lutz