Hallo schoolreaper,
ich hoffe du hast dich bereits intensiv mit dem Problem auseinander gesetzt. Leider ist für mich sehr schwer nach zu vollziehen wie dein Wissenstand ist. Ich versuche dir im folgenden eine Erklärung zu liefern. Eigntl. würde ich dir das ganze noch gerne aufzeichnen damit du es auch wirklich verstehst, aber das scheint hier nicht wirklich zu gehen.
Wenn du dir die Kurve mal zeichnest, wirst du feststellen, dass die Parabel die x-Achse in den Punkten -4 und 4 schneidet, da die Gleichung gerade an diesen Punkten gleich 0 ist.
Nun möchtest du wissen, an welchem Punkt dieser Kurve man eine Tangente anlegen kann, die gerade die x-Achse im Punkt P(8|0) schneidet, da der Astronaut gerade an dieser Stelle wieder auf dem Boden landen würde.
Die Tangente ist nun eine Gerade die die Kurve in einem Punkt berührt. (näheres zur Tangente sollte in deinem Mathebuch stehen) Diesen Punkt bezeichnen wir ab sofort als a .
Die Formel für die Tangente lautet nun:
y = f(a) + f’(a) * (x-a)
Diese Formel beschreibt also eine Gerade bestehend aus deiner Funktion an dem Punkt a, der Ableitung f’(a) deiner Funktion am Punkt a und der Differenz zwischen x und a.
Diese Gerade ist die bestmögliche Annäherung an deiner Funktion im Punkt a. An allen anderen Punkten kann die Tangente beliebig davon abweichen.
Nun musst du von deiner Funktion die Ableitung f’ bilden und alles in die obige Formel einsetzen.
Nun hast du in deiner Gleichung allerdings einige unbekannte. Zunächst einmal ist dir natürlich y unbekannt, außerdem kommen noch a und x hinzu.
Aber folgendes ist dir ja bereits bekannt! Für x = 8 soll y den Wert 0 annehmen! Damit die Gerade auch den P(8|0) {P(x|y)} schneidet.
Durch einfaches einsetzen erhälst du:
0 = f(a) + f’(a) * (8-a)
Diese Gleichung kannst du nun nach a umstellen und solltest für a zwei verschiedene Werte erhalten. Einer davon scheidet aus.
Wenn du nun a ausgerechnet hast kannst du die Tangente mit
y = f(a) + f’(a) * (x-a) einfach angeben und hast die Aufgabe gelöst.
Ich habe hiermit versucht dir das Problem näher zu erklären. Ich hoffe du konntest meinen Ausführungen folgen und ich hoffe das ich nicht zu viel gesagt habe, sodass du dir selbst noch einiges überlegen musst.
So sollte es nach meinem Wissensstand funktionieren. Sollte etwas falsch sein bitte ich um ausführliche Kommentare.
Grüße Tobi748
