Aufstellen einer Ebenengleichung

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

folgende Aufgabe:

"Gegeben sind die nachfolgenden 4 Punkte:

A (1;2;1) ; B (-1;0;3) ; C (2;2;1) ; D (4;2;-2)

WIe lautet die Gleichung einer Ebene durch den Punkt D, die parallel zur Ebene verläuft, welche aus den Punkten A, B und C gebildet werden kann?"

Nun habe ich damit begonnen, die Ebenengleichung für die Punkte A, B und C zu bilden:

E:x = A + λ (B-A) + μ (C-A) = (1;2;1) + λ (-2;-2;2) + μ (1;0;0)

Wenn ich diese nun habe und ich die parallele Ebene bilden soll, die durch den Punkt D geht, muss ich doch den Punkt D als Ortsvektor nehmen, oder? Die restlichen Punkte behalte ich dann einfach bei, sodass die Ebenengleichung folgendermaßen aussieht:

E:x = (4;2;-2) + λ (-2;-2;2) + μ (1;0;0)

Ist die Vorgehensweise so richtig oder muss ich eine andere Vorgehensweise wählen?

Ich danke für jede Hilfe im voraus!

Schönen Gruß

Reiner

#2

Wenn ich diese nun habe und ich die parallele Ebene bilden
soll, die durch den Punkt D geht, muss ich doch den Punkt D
als Ortsvektor nehmen, oder? Die restlichen Punkte behalte ich
dann einfach bei, sodass die Ebenengleichung folgendermaßen
aussieht:

E:x = (4;2;-2) + λ (-2;-2;2) + μ (1;0;0)

Ist die Vorgehensweise so richtig oder muss ich eine andere
Vorgehensweise wählen?

Hallo Reiner,

du hast alles richtig gemacht. Dir sollte nur klar sein, dass es sich bei den Spannvektoren (die mit λ und μ) nicht um die Ortsvektoren von irgendwelchen Punkten handelt die etwas mit der Ebene zu tun haben. Nur der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes in der Ebene. Vielleicht ist dir das aber auch klar und ich habe nur falsch interpretiert was du geschrieben hast.

Gruß

hendrik

#3

Danke vielmals!

Da ich gerade an sehr kompetenter Stelle bin:

Die nächste Teilaufgabe lautet:

„Wie lautet die Geradengleichung, die die Mittelpunkte der Strecken AB und CD verbindet?“

Hierfür habe ich zunächst die Mittelpunkte berechnet:

M(AB) = (A+B)/2 = (0;1;2)

M(CD) = (3;2;-1/2)

Soweit, denke ich, sollte es korrekt sein. Wie stelle ich nun die Geradengleichung auf?
Zunächst sollte ich wohl als Ortsvektor einen Punkt wählen, doch wie stelle ich den Richtungsvektor auf?

Also:

g:x = M(AB) + α (?)

Einfach den zweiten Punkt M(CD) als Richtungsvektor zu nehmen, wäre wohl falsch, so habe ich einen Versuch gestartet, der wie folgt aussieht:

g:x = M(AB) + α (M(CD) - M(AB)) = (0;1;2) + α (3;1;-5/2)

Sollte dieser Ansatz richtig sein, fehlt mir aber noch das logische Verständnis dafür. Ist mehr ein Probieren/Raten als ein wissendes Tun.

Vielleicht kannst Du mir ja auch hier behilflich sein. Tausend Dank in jedem Fall!

Schönen Gruß

Reiner

#4

Hallo Reiner,
wenn Du Dir den Satz
„Dir sollte nur klar sein, dass es sich bei den Spannvektoren (die mit λ und μ) nicht um die Ortsvektoren von irgendwelchen Punkten handelt die etwas mit der Ebene zu tun haben.“ aus Henriks Antwort wirklich vergegenwärtigt hast, weißt Du, dass die „Differenz“ zweier Ortsvektoren einen Richtungsvektor ( nämlich von dem einen zum anderen Punkt ) ergibt. Und dann ist die Antwort auf Deine zweite Teilfrage sehr einfach.
Freundliche Grüße
Thomas

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#5

Hallo Thomas,

zunächst Danke für deinen Beitrag.
Korrigiere mich bitte, falls ich falsch liege:

Meine Vorgehensweise, zugegebenermaßen mehr ausprobiert als gewusst, die Differenz der beiden Mittelpunkte zu verwenden, ist somit korrekt, richtig? Die Mittelpunkte sind ja als Ortsvektoren anzusehen, und wenn ich die Differenz davon nehme, ergibt sich, wie Du sagtest, der Richtungsvektor von dem einen zum anderen Punkt (in diesem Fall von M(AB) zu M(CD).
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist mir nun auch die Logik dahinter klar.

Schönen Gruß

Reiner

#6

Meiner Meinung nach ist das genau richtig. Sehr gut! :smile:
wer-weiss-was sagt dazu:
„Der eingegebene Text ist zu kurz. Bitte gib im Textfeld mindestens 80 Zeichen ein.“
Naja, jetzt sollte es ja passen…

#7

Hallo Reiner,

Die Mittelpunkte sind ja als
Ortsvektoren anzusehen, und wenn ich die Differenz davon
nehme, ergibt sich, wie Du sagtest, der Richtungsvektor von
dem einen zum anderen Punkt (in diesem Fall von M(AB) zu
M(CD).

genauso ist es.

Gruß

Hendrik

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