Kann man ausschließlich aus einer Wertetabelle eine Parabelfunktion höheren Grades (nicht 2) herleiten?
Wenn ja, wie?
Hi,
ein „Hallo“, „Tschüss“ usw. sind nett…
Ja, kann man. In der Wertetabelle hast ja immer nen x- und den dazugehörigen y-Wert. Jetzt einfach das „Grundgesrüst“ der Funktion (so nen ich’s) aufstellen, z.B. bei einer vierten Grades:
y=a*x^4 + b*x³ + c*x² + d*x + e
Jetzt nacheinander die Wertepaare (x- und dazugehörogen y-Wert) einsetzen und hinschreiben. Pro Wertepaar entsteht eine Gleichung. Man braucht mindestens so viele Wertepaare wie man Unbekannte (a, b, c, …) im Grundgerüst hat. Diese Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem (LGS), das löst man nach a, b, c, … auf. Jetzt a, b, c, … ins Grundgerüst einsetzen, ggf. y durch f(x) ersetzen und man hat die Funktion.
Gibt es auch eine Technik, wo man den Grad noch nicht kennen muss? Oder kann man den Grad vom Graph ablesen?
Ja, die Wertepaare als Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen und dann schauen ist ne gute Möglichkeit. Und wenn man bei ganzrationalen Funktionen bleibt: die, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind haben nur gerade Hochzahlen (und können ne Zahl ohne x am Ende haben), die die Punktsymmetrisch zum Ursprung sind haben nur ungerade Hochzahlen (und können keine Zahl ohne x am Ende haben). Das heißt, eine ganzrationale Funktion 6. Grades, die symmetrisch zur y-Ache sind hat das Grundgerüst y= a*x^6 + b*x^4 + c*x² + d Weshalb ich das schreibe… meistens kann man pro Wertepaar eine Unbekannte im Gerüst bestimmen. Das heißt, 5 Wertepaare können ne ganzrationale Funktion 4. Grades bestimmen. Wenn du aber weißt, dass es eine ganzrationale Funktion ist die punktsymmetrisch zum Ursprung ist, können 5 Wertepaare eine 9. Grades bestimmen. Ist also nicht so leicht. Als Faustregel kann man erstmal testen: so viele Unbekannte wie Wertepaare. Schneller gehts mit Einzeichnen.
Das geht genauso wie bei Funktionen 2. Grades: einfach die x- und y-Werte einsetzen, dann erhält man ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten. Man braucht nur eben mehr Wertepaare, da es ja mehr unbekannte Koeffizienten sind. (bei einer Funktion vom Grad n braucht man n+1 Wertepaare)
Beispiel: Funktion vom Grad 3, also f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Wertetabelle:
x | 0 | 1 | 2 | 3
y | 2 | 1 | 3 | 4
einsetzen führt auf:
d = 2
a + b + c + d = 1
8a + 4b + 2c + d = 3
27a + 9b + 3c + d = 4
Man kann durch n Punkte immer genau eine Polynomfunktion (n-1). Grades legen. Das nennt sich Interpolation und es gibt mehrere Wege, die entsprechende Formel herzuleiten (Newton-Interpolation, Lagrange-Interpolation):
http://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation
Da Polynomfunktionen bei vielen Punkten zu Schwingungen neigen, nimmt häufig lieber „Splines“.
Wenn der Grad der Funktion bekannt ist, kann man mit einem linearen Gleichungssystem arbeiten. Nehmen wir an, die Funktion sei 3. Grades. Dann hat die Funktion die Gleichung f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Es sind also vier unbekannte Koeffizienten a,b,c und d vorhanden. Du nimmst dann vier Wertepaare und setzt in die allgemeine Gleichung den x-Wert für x und den y-Wert für f(x) ein. Damit erhältst Du vier Gleichungen mit vier Unbekannten. Dieses Gleichungssystem muss dann gelöst werden. Zur Kontrolle müsste dann noch geprüft werden, ob auch die anderen angegebenen Wertepaare passen. Beim Einsetzen des x-Wertes in die gefundene Funktion müsste sich der in der Wertetabelle stehende y-Wert ergeben.
Weißt Du den Grad der Funktion nicht, so kannst Du mit den vorhandenen n Wertepaaren ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten aufstellen. Ist es lösbar, dann erhältst Du ein Polynom (n-1).ten Grades, auf dem zumindest Deine n Wertepaare liegen. Denn eine Funktion (n-1).ten Grades hat n Koeffizienten.
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo,da bin ich überfragt.
Gruß
Jein. Googele mal unter „Interpolationspolynom“
ja, für eine Parabel zweiten Grades brauchst Du eine Tabelle mit 3 Wertepaaren, für eine Parabel n-ten Grades brauchst Du eine Tabelle mit n+1 Wertepaaren. Setzt Du diese Wertepaare nach und nach in den Ansatz für eine Funktion n-ten Grades ein, liefert Dir also jedes Wertepaar eine Gleichung. Unbekannt sind die n+1 Koeffizienten, die in Deinem Ansatz für die Funktion n-ten Grades vorkommen.
Jetzt hast Du n+1 Gleichungen mit n+1 Unbekannten, die Du nach einem beliebigen Verfahren (im Allgemeinen Gauss-Verfahren) löst.
Fertig ist die Funktionsgleichung.
Gruß von Max
Ich verstehe das Problem nicht so ganz.
Wenn Du eine Funktion z.B. von Grad 4 hast, stellst Du fünf Gleichungen auf mit den Werten, die Du hast und löst diese nach den Unbekannten auf…
Viele Grüße.
Hallo Fredolino,
das geht grundsätzlich schon. Wichtig sind aber die Voraussetzungen, nämlich der Grad n der gesuchten Funktion f und die Anzahl der Wertepaare, die durch die Wertetabelle gegeben sind. Zur (eindeutigen !) Bestimmung der Gleichung einer Funktion vom Grad n benötigt man n+1 Wertepaare. Sind es weniger als n+1 Wertepaare, ist die Frage nicht eindeutig zu beantworten und man erhält eine sog.
Funktionenschar. Bei mehr als n+1 Wertepaaren kann es vorkommen, dass das Problem unlösbar ist.
Rechenbeispiel: Funktion 3. Grades
Wertetabelle:
x -1 1 2 4
f(x) -7,5 -4,5 -6 0
Ansatz: f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f(-1)=-7,5: -a+b-c+d = -7,5
f(1) =-4,5: a+b+c+d = -4,5
f(2) =-6: 8a+4b+2c+d = -6
f(4) = 0: 64a+16b+4c+d=0
Löst man dieses lineare Gleichungssystem, so erhält man:
a=0,5 ; b =-2 ; c=1 und d=-4.
Ich hoffe, deine Frage ist damit hinreichend beantwortet. Ansonsten bitte nochmal melden.
Wolfgang Schäffler
Hi Fredolino,
vermutlich meinst Du Interpolationspolynome. Die wikipedia-Seite ist hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation
Scrolle nach unten zu „Beispiel: Interpolation der Tangensfunktion“ - dieses Beispiel sollte Deine Frage beantworten.
Wenn der Grad groß wird (große Wertetabelle), so oszilliert das Interpolationspolynom stark. Das ist meist unerwünscht, daher interpoliert man in solchen Fällen eher linear oder kubisch, oder mit Splines zwischen den benachbarten Punkten.
HTH
soja
von Bernhard
keine Ahnung!
Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades lässt sich finden, wenn man n+1 (unabhängige) Wertepaare hat.
Man stellt damit dann n+1 lineare Gleichungen für die n+1 unbekannten Koeffizienten auf und löst das Gleichungssystem.
Beispiel: Quadr.Parabel(Parabelgleichung 2-ten Grades):
Ansatz y=ax^2+bx+c. Darin sind 3 Koeffizienten a,b,c.
Mit drei Wertepaaren (x|y) erhältst du 3 Gleichungen für a,b,c.
Hallo Fredolino!
Das kann man nicht mit “ja” oder “nein” beantworten… Also prinzipiell ist eine Polynom n-ten Grades durch n+1 Punkte eindeutig bestimmt. Angenommen, es sind per Wertetabelle n+1 Punkte (xi, yi) gegeben. Dann:
yi = an * (xi)^(n) + … + a2 * (xi)^2 + a1 * xi + a0 (für alle i von 1 bis n+1)
Das sind dann n+1 lineare Gleichungen, mit denen n+1 Unbekannte (die Koeffizienten a0 bis an) bestimmt werden können. (Zum Lösen linearer Gleichnungssysteme siehe etwa Wikipedia, da ist es m. E. gut erklärt.)
Aus der Rechnung wird dann auch alles weitere klar: Eine Funktion n-ten Grades ist durch n+1 Punkte eindeutig bestimmt (da ein lineares Gleichungssystem mit n+1 Gleichungen und n+1 Unbekannten genau eine Lösung hat), eine Funktion mit geringerem als n-tem Grad gibt es in der Regel nicht (es sei denn die ersten Koeffizienten sind 0 und es ergibt sich „zufällig“ eine Funktion geringeren Grades), Funktionen n+1-ten oder höheren Grades gibt es unendlich viele (in diesem Fall wären es n+1 Gleichungen und n+2 Unbekannte, man kann einen Koeffizienten beliebig wählen, erst dann ergeben sich die anderen).
MfG
Stefan Langhammer
Hallo Fredolino,
sorry erstmal für die späte Antwort.
Meines Wissens nach kann man aus 4
gegebenen Punkten eine Funktion 3. Grades herleiten, aus 5 eine 4. Grades usw… Hierbei setzt man die Werte für f(x) bzw. x ein und erhält somit die Gleichungen, deren Gleichungssystem man auflöst. Gezeigt wird das z. B. auf http://www.math.uni-augsburg.de/prof/dida/team/motze… ziemlich gut (die kennen sich besser aus als ich, einfach mal reinschnuppern!)
Gruß Thomas