Klassisch gibt es Dickbett und Dünnbett. Dickbett meint ohne Putz direkt mit einer dicken Schicht, die den gegenüber nicht gefliesten Flächen fehlenden Putz in der Dicke ersetzt, auf den Stein, so wie es hier vorher war. Dünnbett wäre auf vorhandenem Putz oder Trockenbauplatten nur als reine Klebeschicht.
Wenn Dickbett vorhanden war, muss der alles runter, weil man auf die alte nicht einheitliche Schicht nicht sauer im Dünnbett fliesen kann. Zudem leidet die alte Schicht auch beim Abriss der alten Fliesen, fällt teilweise ab, wird bröckelig (die Brocken hat man dann schnell im neuen Kleber, und kann den nicht mehr einheitlich dünn aufziehen).
Neu im Dickbett zu verlegen ist nicht unbedingt eine Sache für Gelegenheits-Fliesenleger, während Dünnbett recht einfach ist, und auch beim Hobby-Fliesenleger normalerweise schnell und Einfach zu ordentlichen Ergebnissen führt.
Daher kann man sich in deiner Situation auch mit folgender dritter Variante behelfen: Alles runter, dann Schnellputzschienen drauf, Wand klassisch mit einem geeigneten Putz verputzen, und darauf dann nach ausreichender Trocknung im Dünnbett fliesen. Klingt erst einmal nach deutlich mehr Aufwand, würde ich aber selbst auch immer so machen, weil ich eben auch nur Hobby-Handwerker mit höchst gelegentlichen Fliesenarbeiten bin.
