Basiswechsel durch Matrix

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

gegebebn sei ein Hamiltonian in Matrixform, nennen wir ihn bzw. sie H .
Es handelt sich dabei um eine 3 x 3-Matrix. Deren Basis besteht aus
drei Zustandsvektoren. Nun soll der Hamiltonian in einer neuen Basis
angegeben werden, also in eine neue Basis transformiert werden. Hierzu
liegt die unitäre Basiswechselmatrix U vor. Erhalte ich dann den in die
neue Basis transformierten Hamiltonian H’ durch die folgende Formel?

H’ = U \cdot H \cdot U^{-1}

Hierbei bezeichnet U^{-1} die inverse Matrix zur Matrix U . Bitte entschuldigt
eventuelle, didaktische Fehler. Ich freue mich auf hilfreiche Antworten!

Gruß.

#2

Hi,

was verstehst Du unter „Hamiltonian“? Bei mir ist das eine skalare Funktion auf dem Orts-Impuls-Raum, und der hat daher immer gerade Dimension.

Oder sind wir in der Quantenfeldtheorie? Dann stimmt die Form, aber es kann vom Kontext abhängen, auf welcher Seite die inverse Matrix steht.

Gruß, Lutz

#3

Hallo,

OK, dann wird es nun etwas komplizierter. Wir befinden
uns bei der Laser-Kühlung, exakter ‚Laser-Kühlung un-
ter der ‚Ein-Photon-Rückstoß-Energie‘ durch Geschw.-
selektives, kohärentes Populationsfangen (VSCPT)‘.
Wir betrachen nun ein \Lambda-System, also ein System aus
zwei Grundzuständen |g_{+}, p + \hbar k>;,; |g_{-}, p - \hbar k>
und einem angeregten Zustand |e, p>. Die Zustände
sind gekoppelt. In dieser Basis lautet der Hamiltonian:

H = \begin{pmatrix} \frac{(p + \hbar k)^2}{2M} & 0 & -\frac{\hbar \omega_1}{2} \ 0 & \frac{(p - \hbar k)^2}{2M} & \frac{\hbar \omega_1}{2} \ -\frac{\hbar \omega_1}{2} & \frac{\hbar \omega_1}{2} & \hbar \omega + \frac{p^2}{2M} \end{pmatrix}

Nun soll dieser Hamiltonian in eine neue Basis trans-
formiert werden. Wie diese aussieht, spielt eigentlich
hier keine Rolle, denn gegeben ist die unitäre Matrix
U, die diese Matrix beschreibt. Es handelt sich auch
hierbei um eine (3 x 3)-Matrix. Ich dachte nun, dass
man, um den neuen Hamiltonian H’ zu bekommen,
einfach H’ = U \cdot H \cdot U^{-1} berechnen muss?

Gruß.

#4

War wohl etwas zu ausführlich, oder? Ich wollte absichtlich kei-
ne Verwirrung stiften, es geht mir eigentlich nur um die Formel.

#5

Es hat sich bei meiner Rechnung herausgestellt, dass es egal sein
müsste, von welcher Seite man welche der beiden Matrizen dranmulti-
pliziert, denn sie sind gleich. Hier mal meine Lösung, ist es korrekt?

http://s7.directupload.net/images/120627/tbkktxvv.jpg

#6

Hi,

dass keine weitere Meldung kam, heißt wohl, dass keiner einen Fehler in Deinen Rechnungen gefunden hat.

Wo die inverse Matrix steht, ist erst dann wichtig, wenn Du am Ende die Lösung zurück in die Basis der Aufgabenstellung transformierst. D.h. ob da die Transformation mit U oder der Inversen vorzunehmen ist.

Gruß Lutz