Bedingung, dass ein Punkt in einem Kreis liegt

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

ich habe eine Verständnisfrage, die ich anhand eines konkreten Beispiels darstellen möchte.

Diese Aufgabe fällt in den Bereich der analytischen Geometrie bzw. Vektorrechnung.

Gegeben ist ein senkrechter Kegel, mit dem Bodenmittelpunk M(0/0/0) und dem Radius r=4LE (ebenfalls Bodenebene) und der Spitze S(0/0/12). Liegt der Punkt R(2/2/3) in dem Kegel?

Folgender Lösungsansatz ist zu verwenden:

Ein allgemeiner Punkt im Kegel mit der Höhe drei heißt:
A(s/t/3)

Es muss gelten:

I |s|≤ r
II |t|≤ r
III |s|+|t|≤ ???

Mein Vorschlag wäre:
III |s|+|t|≤ π (r[quadrat]÷2r)

Ich kann diesen Vorschlag aber nicht begründen, es ist mir nur empirisch aufgefallen (d.h. es sah ganz plausibel aus auf meiner Skizze heute :smile:)

Ich wäre euch dankbar, wenn ihr meinen Vorschlag widerlegt oder begründet
Matthias

#2

Gegeben ist ein senkrechter Kegel, mit dem Bodenmittelpunk
M(0/0/0) und dem Radius r=4LE (ebenfalls Bodenebene) und der
Spitze S(0/0/12). Liegt der Punkt R(2/2/3) in dem Kegel?

Ein allgemeiner Punkt im Kegel mit der Höhe drei heißt:
A(s/t/3)

Es muss gelten:

I |s|≤ r
II |t|≤ r

Und wenn man in einer der Koordinaten „weitergehen“ würde, bleibt man immer im Kegel?

III |s|+|t|≤ ???

Mein Vorschlag wäre:
III |s|+|t|≤ π (r[quadrat]÷2r)

Das rechte wäre gekürzt πr/2.

Aber in allen Fällen hast du die Höhe nicht berücksichtigt.

Der Radius in Abhängigkeit von der Höhe z:
r=-z/3 + 4
Ein Punkt, dessen Abstand zur z-Achse kleiner ist als r, liegt im Kegel (wenn die Höhe stimmt).
Der Abstand geht über den Pythagoras.
Also \sqrt{s^2+t^2}\leq r(z)

mfg,
Ché Netzer

#3

Hallo,
Dein Punkt liegt auf 1/4 der GesamtHöhe des Kegels. Der Schnitt( Kreis ) ist da um 1/4 verringert gegenüber der GrundFläche --> r=3.
Für den Rest: Frag ´mal Herrn Pythagoras! :wink:
Viel Erfolg
Thomas

#4

Ich habe die Höhe in meinem Beispiel nicht ausgeführt, aber auch nicht ausgeschlossen sie eingesetzt zu haben. Ich habe nämlich tatsächlich den Radius r=3 verwendet.
Das mit dem Abstand zur z-Achse ist zwar einfacher, die 3. Bedingung von mir müsste aber glaube ich - ich habe mir das Ganze noch einmal genauer angeschaut - |s|+|t|=1 heißen. Ist das dann richtig?

#5

Das mit dem Abstand zur z-Achse ist zwar einfacher, die 3.
Bedingung von mir müsste aber glaube ich - ich habe mir das
Ganze noch einmal genauer angeschaut - |s|+|t|=1 heißen. Ist
das dann richtig?

Nein, leider nicht.
Das kannst du dir ja mal aufzeichnen (zweidimensional, mit s und t als Koordinaten).
|s|+|t| ist die „zurückgelegte Entfernung“, wenn man sich immer senkrecht bzw. parallel zu den Achsen bewegt. Die direkte Strecke ist aber die Wurzel aus s²+t².
Und wieso sollte das dann gleich 1 sein?

mfg,
Ché Netzer

#6

Ja ich habs gemerkt, als ich es geschrieben hatte.

Ich weiß es nun aber noch immer nicht. Soweit bin ich bisher:
|s|+|t|≤ Eine Zahl größer als r, aber wieviel?

#7

Ich weiß es nun aber noch immer nicht. Soweit bin ich bisher:
|s|+|t|≤ Eine Zahl größer als r, aber wieviel?

Wieso denn |s|+|t|??
Das ist nicht die direkte Strecke; damit könntest du nur eine Raute konstruieren, keinen Kreis.
Versuch doch mal zu erklären, warum diese Beträge in der Ungleichung auftauchen sollen.

mfg,
Ché Netzer

#8

Ohne die anderen Beiträge vollständig gelesen zu haben:

Der Punkt liegt im Kreis wenn Abstand Mittelpunkt/Kreis

#9

So, ich weiß jetzt weshalb Herr Pythagoras mir helfen kann und kann damit die dritte Bedingung lösen.
Schaut man sich nur die Ebene an, in der der Punkt R liegt (x3=3), dann kann man das ganze auch so darstellen:
(entschuldigung, meine Bezeichnungen passen nicht zu…

#10

Achso, jetzt hab ich deinen Einwand erst verstanden. Verdammt! Stimmt das, was ich als dritte Bedingung in „Re^2: Bedingung, dass ein Punkt in einem Kreis lie (Nix_schlecht, 21.3.2012 16:00)“ (also die Antwort auf falkens Hinweis) dann auch nicht mehr?