Berechnung des Volumens eines Vektordreiecks

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich habe nun schon etliche Foren durchsucht, finde aber keine Lösung zu meinem Problem.

In einer Musterklausur für Bauingenieurwesen taucht folgende Aufgabe auf:

Gegeben sind die 4 Punkte O(0,0,0), A(1,-2,3), B(2,-1,7), C (α2,22α,11) (α ∈ IR).
Aufgabe: Für welche α ∈ bilden die Punkte A, B, C die Eckpunkte eines Dreiecks? Berechnen Sie gegebenenfalls den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängig- keit vonα mithilfe der Vektorrechnung.

Durch die Formel für Vektordreieck kam ich auf die Lösung, dass es für alle α ∈ IR Dreiecke gibt.
Mit dem Vektorprodukt für die Volumenberechnung eines Parallelogramms (ein Dreieck ist ja ein halbes Parallelogramm) hab Ichs versucht, aber ich komme echt auf kein brauchbares Ergebnis. Kann mir da jemand helfen?? Ich verzweifle hier fast.

Danke

#2

Hallo.

Durch die Formel für Vektordreieck kam ich auf die Lösung,
dass es für alle α ∈ IR Dreiecke gibt.

Stimmt. Es gibt nur dann kein Dreieck, wenn die drei Punkte kollinear sind. Das ist bei Deiner Aufgabe aber für keinen Wert des Parameters der Fall.

Eine recht praktische Methode ist die Heronische Flächenformel (http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Heron). Berechne die Seitenlängen als Beträge der Differenzen der Ortsvektoren der Punkte. Mein Ergebnis nach konsequenter Arbeit mit den binomischen Formeln:

A = \frac{1}{4}\sqrt{32832\alpha^2-288\alpha+612}.

Liebe Grüße,

The Nameless

#3

Hallo,

wow, danke für die schnelle Antwort, Ich habe ein ähnliches Ergebnis, also lag ich doch nicht so falsch, und danke für den Hinweis auf den Satz des Heron, von dem hab ich zwar noch nichts gehört, aber vielleicht kann ich in der nächsten Klausur damit punkten :smile:

Lg
WIBler83

#4

Gegeben sind die 4 Punkte O(0,0,0), A(1,-2,3), B(2,-1,7), C
(α2,22α,11) (α ∈ IR).
Aufgabe: Für welche α ∈ bilden die Punkte A, B, C die
Eckpunkte eines Dreiecks? Berechnen Sie gegebenenfalls den
Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängig- keit vonα mithilfe der
Vektorrechnung.

Durch die Formel für Vektordreieck kam ich auf die Lösung,
dass es für alle α ∈ IR Dreiecke gibt.

Ich kenne die Formel zwar nicht aber dem Ergebnis stimme ich zu, da der Punkt C nicht auf der Geraden durch A und B liegt.

Mit dem Vektorprodukt für die Volumenberechnung eines
Parallelogramms (ein Dreieck ist ja ein halbes Parallelogramm)

Ein Parallelogramm hat kein Volumen sondern einen Flächeninhalt.

hab Ichs versucht, aber ich komme echt auf kein brauchbares
Ergebnis. Kann mir da jemand helfen??

Wenn Du tatsächlich eine Formel zur Berechnung des FLÄCHENINHALTES eines Parallelogrammes hast, kannst Du tatsächlich die Hälfte des Ergebnises des Parallelogrammes mit den Seiten AB und AC nehmen.

Zeig uns doch mal Deine Rechnung und sag wo es hapert.

#5

Quatsch, großer Fehler meinerseits, es handelt sich tatsächlich um den Flächeninhalt, somit das halbe Parallelogramm

#6

Hallo,

, und danke für den Hinweis auf den Satz des Heron, von dem hab ich :zwar noch nichts gehört,

aber vielleicht kann ich in der nächsten
Klausur damit punkten :smile:

aber wahrscheinlich nicht, wenn du die Fläche mit Hilfe der Vektorrechnung berechnen sollst.
Du kannst zwar den Flächeninhalt mit dem Satz des Heron berechnen, aber was hat das mit Vektorrechnung zu tun?
Ich würde deshalb den Flächeninhalt über das Kreuzprodukt berechnen.

Gruß
Pontius

#7

Hallo Pontius.

Du kannst zwar den Flächeninhalt mit dem Satz des Heron
berechnen, aber was hat das mit Vektorrechnung zu tun?
Ich würde deshalb den Flächeninhalt über das Kreuzprodukt
berechnen.

Es heißt doch nur „mit Hilfe der Vektorrechnung“. Wenn der UP Punkte durch ihre Koordinaten gegeben hat und deren Verbindungsvektoren aufschreibt und anschließend deren Beträge (z. B. als Wurzel aus dem Skalarprodukt) berechnet, dann arbeitet er doch mit Hilfe der Vektorrechnung.

Alternativ kann man natürlich auch das Vektorprodukt zweier Kantenvektoren von einem Punkt aus verwenden. Dessen Betrag ist ja gleich der doppelten Fläche des Dreiecks. Der Nachteil ist allerdings, dass das Vektorprodukt nur in drei Dimensionen definiert ist. Bettet jemand die Punkte in einen höherdimensionalen Vektorraum ein, so versagt dieser Weg leider.

Oder man hält sich an die Berechnung „Grundseite mal Höhe durch zwei“ und ermittelt Geradengleichungen für eine Kante und die dazugehörige Höhe. Dafür gibt es natürlich auch wieder zahlreiche Wege, über das Skalarprodukt oder über das Kreuzprodukt, mit laufendem Punkt auf der Grundseite oder unter Verwendung des Normalenvektors der Ebene.

Der UP sollte nun selber überlegen, welcher Weg den Anforderungen seiner Klausur genügt. Darüber können wir Außenstehende ja nur spekulieren.

Liebe Grüße allerseits,

The Nameless

#8

Hallo Nameless,

Der UP sollte nun selber überlegen, welcher Weg den
Anforderungen seiner Klausur genügt. Darüber können wir
Außenstehende ja nur spekulieren.

es ist doch naheliegend, welcher Lösungsweg gewählt werden soll,
denn dem UP ist doch offensichtlich bekannt, was das Kreuz-/Vektorprodukt ist und hat es damit ja auch schon versucht, während er vom Satz des Heron bisher noch nichts gehört hatte.
Unabhängig davon, fände ich es befriedigender, wenn ich wüßte, warum ich nicht mit einem mir grundsätzlich bekannten Lösungsweg zu einem „brauchbaren“ Ergebnis gekommen bin, bevor ich ggf. auf alternative Lösungswege ausweiche.

Gruß
Pontius

#9

Hallo nochmal.

Mit dem Vektorprodukt für die Volumenberechnung eines
Parallelogramms (ein Dreieck ist ja ein halbes Parallelogramm)
hab Ichs versucht, aber ich komme echt auf kein brauchbares
Ergebnis. Kann mir da jemand helfen??

Wo liegt denn das Problem? Ich habe zwei Kantenvektoren aufgestellt, deren Kreuzprodukt berechnet, davon den Betrag genommen und dann durch zwei geteilt. Dabei kommt wieder genau mein Kontrollergebnis von neulich heraus.

Schreibe doch Deine Rechnung (oder wenigstens wichtige Zwischenergebnisse) hier ins Forum, sodass wir Dir weiterhelfen können.

Liebe Grüße,

The Nameless

#10

Hallo!

Der Nachteil
ist allerdings, dass das Vektorprodukt nur in drei Dimensionen
definiert ist. Bettet jemand die Punkte in einen
höherdimensionalen Vektorraum ein, so versagt dieser Weg
leider.

Warum? Ich gehe mal davon aus, dass das Dreieck nicht gekrümmt ist, oder meinst du das? Dann natürlich nicht, ansonsten müsste das Proble durch eine Drehung des Koordinatensystems immer behebbar sein, oder irre ich?

lg
Alex

#11

Hallihallo,

wow, so viele Antworten!!! Das klingt alles so fürchterlich kompliziert und jetzt bin ich total verwirrt und hätte mal eine ganz generelle Frage dazu:
Wenn die Punkte ein Dreieck im dreidimensionalem Raum darstellen sollen, müssen Sie dann nicht in einer Ebene liegen, sprich linear abhängig sein?
Das wären Sie nämlich für a=-3 und 1
(Determinante ausrechnen, gleich null gesetzt, dann mit der Mitternachtsformel)
und für diese zwei a könnte ich doch den halben Flächeninhalt eines Parallelogramms mit Hilfe des Vektorprodukts ausrechnen, das wären dann…für a=-3: FE 12√131
a= 1: FE 4√131

Kann das stimmen?
GLG und vielen Dank bisher

#12

Hallo Alex.

Warum? Ich gehe mal davon aus, dass das Dreieck nicht gekrümmt
ist, oder meinst du das? Dann natürlich nicht, ansonsten
müsste das Proble durch eine Drehung des Koordinatensystems
immer behebbar sein, oder irre ich?

Man kann natürlich das KOS so drehen, dass das Dreieck parallel z. B. zu der x1-x2-Ebene liegt. Dann projeziert man den gesamten Vektorraum auf einen dreidimensionalen Unterraum, aufgespannt durch die Richtungen x1, x2 und eine weitere, z. B. x3. In diesem Unterraum kann man mit dem Kreuzprodukt auf die bekante Weise die Fläche des Dreiecks ausrechnen.

Der Weg ist selbstverständlich gangbar, aber wahrscheinlich durch die evtl. hochdimensionalen Drehmatrizen relativ kompliziert. Ich könnte diese jedenfalls heute Abend nicht mehr aus dem Ärmel schütteln.

Liebe Grüße,

The Nameless

#13

Hallo,

egal, wo die drei Punkte liegen. Du kannst *immmer* eine Ebene durch legen. Ebenen werden genau so definiert: Durch drei Punkte.

Wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen, dann definieren sie immer auch ein Dreieck. Daher kann man beliebige reelle $\alpha$ nehmen, es gibt immer ein zugehöriges Dreieck.

Gruß

Fritze

#14

Hallo zurück.

Wenn die Punkte ein Dreieck im dreidimensionalem Raum
darstellen sollen, müssen Sie dann nicht in einer Ebene
liegen, sprich linear abhängig sein?

Drei Punkte liegen immer in einer Ebene, wie Fritze schon richtig angemerkt hat. Sie bilden aber nicht immer ein Dreieck, denn manchmal liegen sie auch alle drei auf einer gemeinsamen Gerade.

Das wären Sie nämlich für a=-3 und 1
Kann das stimmen?

Nein. Wir betrachten die Kantenvektoren von Punkt A aus, also

\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} 1 \ 1 \ 4 \end{array} \right)

und

\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} 2\alpha-1 \ 22\alpha+2 \ 8 \end{array} \right)

Wenn diese beiden auf der gleichen Gerade liegen sollen, müssen sie linear abhängig sein. Folglich muss es eine reelle Zahl \beta geben, sodass \beta\vec{AB} = \vec{AC} gilt.

Das führt auf das lineare Gleichungssystem

\left| \begin{array}{c} \beta = 2\alpha-1 \ \beta = 22\alpha+2 \ 4\beta = 8 \end{array} \right|.

Aus der dritten Gleichung folgt \beta=2 . Damit ergibt sich aus der ersten Gleichung \alpha=3/2 und aus der zweiten Gleichung \alpha = 0.

Offenbar entsteht ein Widerspruch. Das Gleichungssystem ist nicht lösbar und die beiden Kantenvektoren zeigen somit immer in verschiedene Richtungen. Also bilden die drei gegebenen Punkte für jede Wahl des Parameters \alpha ein Dreieck.

Dessen Fläche beträgt

F_\Delta = \frac{1}{2} \sqrt{ 8202\alpha^2-72\alpha+153}.

Liebe Grüße,

The Nameless