Hallo Leute,
kann mir jemand den Gefallen tun und mir bei folgender Aufgabe helfen:
Zeigen Sie, dass eine beschränkte Folge unendlich viele konvergente Teilfolgen besitzt.
Ich bedanke mich im voraus.
Liebe Grüße
Bella99
Hallo,
wie man von einer konvergenten Teilfolge auf unendlich kommt ist klar? Tipp: b_1 := a_2.
Bleibt zu zeigen, daß es mindestens eine konvergente Teilfolge gibt. Das ist der Satz von Bolzano-Weierstraß. Man nutzt das Prinzip der Intervallschachtelung, das Start-Intervall I_1 ist [-L,L], wobei L eine Schranke der Folge ist. Bleibt zu zeigen, daß, gegeben ein Intervall I_n = [l_n, k_n], in dem fast alle Folgeglieder liegen, so zerlegt werden kann, daß ein kleineres Interval I_{n+1} übrig bleibt, in dem wiederum fast alle Folgeglieder liegen, und gilt: lim |I_i| = 0 (die Länge der Intervalle konvergiert gegen 0).
Wenn das gelungen ist, konstruiert man die konvergente Teilfolge, indem man (Auswahlaxiom) aus jedem Intervall genau ein Folgeglied wählt. Der Grenzwert dieser Folge liegt im Schnitt aller I_i.
Also danke erstmal aber ich verstehe dass immer noch nicht
Vorab, wir reden hier über reelle Folgen (N -> R)?
Dann, Bolzano-Weierstraß ist aber ein Begriff? Der zeigt eigentlich, daß jede beschränkte Folge einen Häufungspunkt hat, mit Auswahlaxiom ist das aber äquivalent zu eine konvergente Teilfolge. Den Häufungspunkt charakterisiert eine Folge von Intervallen, die ineinander enthalten sind, deren Länge gegen 0 konvergiert. Genau diese Folge konstruieren sie im Beweis. Sie fangen mit dem Intverall [-L,L] an, welches per Vorgabe existiert (beschränkte Folge). Dann wird das Intervall mittig geteilt, mindestens eine Hälfte enthält immer noch unendlich viele Folgeglieder (ich hatte oben fast alle geschrieben, das war falsch). Genau dieses Teilintervall wählen wir und wiederholen den Schritt, wieder mittig teilen, wieder gucken, wo unendlich viele Glieder sind, wieder wählen. Am Ende haben wir genau einen Punkt in allen Intervallen (der Schnitt aller Intervalle), den Häufungspunkt. Qua Konstruktion ist die Länge der Intervalle monoton absteigend und geht gegen 0.
Nun brauchen wir „lediglich“ aus jedem Intervall genau ein Folgeglied wählen und konstruieren so eine konvergente Teilfolge. Das geht für jedes Intervall, da wir uns ja immer für das Intervall entschieden haben, wo noch unendlich viele Folgeglieder enthalten sind. Ich hoffe das ist jetzt ein wenig klarer.
Knackpunkte sind die Vollständigkeit von R, in Q z.B. funktioniert alles analog, aber der Häufungspunkt liegt u.U. gar nicht in Q. Die Halbierung der Intervalle in jedem Schritt, das garantiert, daß wir gegen „Ende“ hin mit beliebig kleinen Intervallen arbeiten, die müssen quasi auf einen Punkt zusammenschrumpfen, wären dort 2 Punkte X und Y, könnte die Originalfolge immer zwischen X und Y alternieren und damit nicht konvergieren. Das Auswahlaxiom, denn ohne ist nicht klar, daß wir aus jedem Intervall auch genau ein Element wählen können. Die Beschränktheit der Originalfolge, denn sonst könnten wir nicht einmal das erste Intervall angeben.