Hallo Mary
ich glaube, unsere Missverständnisse rühren daher, dass es einen Unterschied macht, ob man nach der Basis desjenigen Vektorraumes sucht, der sich aus der Linearen Hülle der drei Vektoren (die lineare Hülle von Vektoren bildet immer einen Vektorraum) ergibt oder ob man nach der Basis desjenigen Vektorraums sucht, der die Lösungsmenge eines homogenen Linearen Gleichungssystems ist.
Du hast geschrieben :„Wenn es keine Nullzeile gibt, ist die Standardbasis die Basis zu den Vektoren.“
Diese Aussage ist nur dann richtig, wenn sie sich auf die erste Fragestellung bezieht, nämlich auf die Basis des Vektorraumes, der sich aus der Linearen Hülle der drei Vektoren (die lineare Hülle von Vektoren bildet immer einen Vektorraum) ergibt.
Einen schönen Abend noch !
Gruß Max
Hallo Max,
das heißt, wenn man nach der Basis des Lösungsraums sucht, dann würde man einfach die Spaltenvektoren nehmen und mit dem „Gauß-Algorithmus“ x1,x2,und x3 berechnen und dadurch auch letztendlich die Basis des Lösungsraums bekommen, so wie man es für die nicht triviale Relation macht,oder?
Falls man die Basis desjenigen Vektorraumes sucht, der sich aus der Linearen Hülle der drei Vektoren (die lineare Hülle von Vektoren bildet immer einen Vektorraum) ergibt, sucht, dann würde man die Methode mit den Vektoren in Zeilenform benutzen,oder?
Habe ich das jetzt richtig verstanden?
Vielen Dank für deine Hilfe,
viele Grüße Mary
Hallo Mary, Zeilenvektoren habe ich noch nie gebraucht, in keinem der beiden Fälle.
Ich mache mal ein deutliches Beispiel, das homogene Lin. Gleichungssystem (LGS)sei durch die Matrix
2 1 1
2 4 0
1 -1 1 gegeben.
Nach Gauss wird sie zu
2 1 1
0 3 -1
0 0 0
Als Lösung erhalte ich x= -2a, y=a, z=3a (kann durch Probe bestätigt werden) für alle reellen a. Das bedeutet, die Lösungen bilden einen eindimensionalen Vektorraum mit einer Basis {(-2, 1, 3)}. (natürlich als Spalte und nicht als Zeile gedacht) Soweit - so glaube ich - war Dir die Sache klar.
Jetzt beginnt aber vermutlich Dein Irrtum:
Suchst Du die Basis desjenigen Vektorraumes , der sich aus der Linearen Hülle der drei in der ersten Matrix gegebenen Vektoren (Spalten) ergibt, so sind das keine Zeilen (Zur Probe könntest Du ja mal probieren, z.B. (2,2,1) als Linearkombination der Zeilen (2,1,1) und (0,3,-1) darzustellen, es führt auf einen Widerspruch. Richtig dagegen wäre auf jeden Fall , zwei beliebige Spalten der Ausgangsmatrix als Basis zu nehmen, also z.B. {(1,4,-1), (1,0,1)}, denn die Lin. Hülle muss ja zweidimensional sein, weil der Lösungsraum eindimensional ist (2+1=3)Allein aus diesen beiden Vektoren lässt sich jeder Vektor der Lin. Hülle als Linearkombination darstellen.
Ich habe zwar eine Ahnung, was Du unter „die Methode mit den Vektoren in Zeilenform“ verstehen könntest, ich bin aber lieber nicht darauf eingegangen, da mir diese Worte sehr vorlesungsbezogen erscheinen; als math. Terminus isind sie mir nicht bekannt. Ich hoffe, die Beispiele ersetzen das zur Not (Falls mir Rechenfehler unterlaufen sind, gib bitte Bescheid, mit solchen könnten meine Ausführungen unverständlich werden).
Gruß von Max