Bestimme eine allgemeine Lösung dieses LGS

[R_E_M]

Hallo!

Ich bräuchte eure Hilfe!

Ich habe zwei LGS und brauche für den einen eine allgemein Lösung und für die zweite Aufgabe benutze ich zuerst das inhomogene LGS und muss dann eine allgemeine Lösung des LGS bestimmen und eine Basis U für den Lösungsraum des homogenen LGS finden!

1 2 2 2 1 2 1 0
2 4 6 8 -> 0 0 1 2 -> x1= -2x2-x3
3 6 8 10 x3= -2x4
x4= r
x2= s
Lösung: L={(x1,x2,x3,x4)= (-2s+r, s, -2r,r)= r(1,0,-2,1)+ s(-2,1,0,0)/r,s, e R^4}
Ist das richtig?
Hier wäre die Basis dann: (1,0,-2,1); (-2,1,0,0)

2. 1 3 1 0/ 5
   0 2-1-1/ 0 --> 1 3 1 0/ 5
   1 1 2 1/ 5 0 2-1-1/0

x1= -3 x2-x3-5= -3 (1/2 r+ 1/2 s)-r -5= -5/2r-3/2s- 5
x2= 1/2x3+ 1/2 x4= 1/2 r+1/2 s
x3=r
x4=s

L={(x1,x2,x3,x4)= (-5/2r-3/2s-5, 1/2r+1/2s, r,s)/r,s e R^4}

nun eine Basis U für den Lösungsraum des homogenen LGS!!

Hier setzt man die Gleichung einfach 0 und es kommt

1 3 1 0 heraus
0 2 -1 -1

–> Basis U: (-5/2,1/2,1,0), (-3/2, 1/2, 0,1)
ist das richtig?

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte, wenn etwas falsch wäre bzw. mal schauen könnte, ob alles passt, weil ich mir noch ein wenig unsicher bin!

Liebe Grüße, Mary

[anon27435415]

Hallo!

tut mir ehrlich leid, aber da kann ich dir momentan leider auch nicht helfen! hoffe, du findest noch jemanden, der eine größere Hilfe ist!

viel Erfolg!

Verena

[M_L_]

Auch hallo,

die Präsentation der Matrix ist *etwas* unglücklich (Korrektur: im Antworten-Feld sieht es besser aus).
Die Ergebnisse kann man durch Einsetzen in die Originalmatrix kontrollieren.

1 2 2 2 *(-2) +II oder *(-3) +III
2 4 6 8 -> 0 0 1 2 -> x1= -2x2-x3
3 6 8 10 x3= -2x4

---

-2 -4 -4 -4
2 4 6 8

---

II 0 0 2 4 :2

0 0 1 2 -> 1*x3 + 2*x4 = 0

Die geleisteten Rechungen scheinen aber bisher zu stimmen

[Max_B_ttner]

Hallo, (Das gegebene System gleich in Matrixform hinzuschreiben kann zu Missverständnissen führen, wenn das Textsystem nicht Zeilen und Spalten richtig untereinander überträgt.)
Aufgabe 1 hast Du richtig gelöst.
Bei Aufg. 2 ist Dir gleich bei der ersten Umformung am Ende ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Es müsste
x1= -3 x2-x3+5 heißen.
Gedanklich ist alles richtig
Gruß von Max

[Anonym_e52f27a38f6b]

Hallo Mary!

1 2 2 2 1 2 1 0
2 4 6 8 -\> 0 0 1 2 -\> x1= -2x2-x3
3 6 8 10 x3= -2x4
x4= r
x2= s

Bis hier ist alles richtig.

Lösung: L={(x1,x2,x3,x4)= (-2s+r, s, -2r,r)

Hier hast Du einen Fehler gemacht: Wenn x₁=-2x₂-x₃ ist und x₃=-2x₄=-2r, dann ist x₁=-2s+2r.

Der Rest ist dann folgerichtig, das heißt, Du kannst es.

L={(x1,x2,x3,x4)= (-5/2r-3/2s-5, 1/2r+1/2s, r,s)/r,s e R^4}

Hier hab ich mir die Lösung nicht angesehen. Du kannst ja einmal eine Probe machen, dann weißt Du, ob Du alles richtig gemacht hast.

nun eine Basis U für den Lösungsraum des homogenen LGS!!

Hier setzt man die Gleichung einfach 0

Das musst Du doch nicht noch mal neu rechnen. Du weißt doch, dass die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS gleich der Lösungsmenge des zugehörigen homogenen LGS plus einer speziellen Lösung ist.
Wenn Du nun schon die Lösungsmenge hast, brauchst Du doch nur die spezielle Lösung (also alles, was nicht von einem Parameter abhängt) außer acht zu lassen und die Basis wie oben aufzustellen.

–> Basis U: (-5/2,1/2,1,0), (-3/2, 1/2, 0,1)
ist das richtig?

Das stimmt zumindest schon mal mit Deinem obigen inhomogenen Ergebnis überein.

Liebe Grüße
Immo

[Ures]

Sorry, Mary! In diesem Bereich bin ich kein Experte.

mfg
Ures

[wolfgang_d1b44f]

Hallo Mary,
allgemeine Lösungen für lineare Gleichungen findest Du bei Wikipedia auch in Matrixform. Einfach mit LGS googeln. Aber das hast Du ja bestimmt schon getan.
Leider kann ich Dir nichts weiteres dazu sagen.
Grüsse W.

[Djabo]

Hallo Mary,
ich kann das so nicht nachvollziehen, ich glaube es fehlen einige Zeilenumbrüche. Kannst du das lineare Gleichungssystem bitte einmal komplett hinschreiben?
mfg
Timo

[R_E_M]

Danke für deine Hilfe und Antwort!

Ich hab jetzt noch eine Aufgabe, hier muss ich bei folgenden gegebenen Vektoren: v1:frowning:1,0,1); v2= (1,1,t); v3= (t,t,1)
zuerst
1)eine Basis für U= span (v1, v2,v3) in Abhängigkeit von t Є R.
2) Bestimme für t= -1 eine nicht-triviale Relation zwischen v1,v2 und v3

Bei 1) habe ich zuerst einmal anhand von Gauß die Basis ausgerechnet:

1 1 t
0 1 t ->(1-2 Zeile)
1 t 1

1 0 0
0 1 t (3- 1 Zeile)
1 t 1

1 0 0
0 1 t
0 t 1

Wenn man hier schluss machen würde, wäre x1=0
x2= -t x3
und x3= -t x2 = -t(-t x3) = t² x3
-> L= {(x1,x2,x3)= x3(0,-t, t²)/ tЄ R³}
Basis: (0, -t, t²) oder (0,-1,1) ???

Jetzt wusste ich nicht, ob ich noch eine Umformung machen soll mit (3- 1 Zeile)
1 0 0
0 1 t
0 t-1 1-t

Dann wäre x1= 0; x2=-t x3 und

x3= - (t-1)x2/ (1-t)= - (t-1)*(-t x3)/ (1-t)= x3 (t²-1)/ (1-t) --> Dann wäre L= {(x1,x2,x3)= x3(0,-t, t²-1/ 1-t)/ t Є R³}

Hier wäre die Basis: (0,-t,t²-1/ 1-t) in Abhängigkeit von t.

Ich weiß jetzt nicht, welches von beiden richtig ist und ob man, wenn es um die Abhängigkeit von t geht t in der Basis stehen lassen darf.

Bei Aufgabe 2 würde stehen:

1 0 0
0 1 -1
0 -1 1
-> x1= 0; x2= x3; x3= x2
L= {(x1,x2,x3)= (0,1,1)

die nichttriviale Relation dazu wäre dann:

x1 (v1)+ x2 (v2)+x3(v3)= 0 (-> nicht-triviale Lösung)

–> 0* (1,0,1)+ 1 (1,1,-1)+ 1(-1,-1,1)= (0,0,0)
-> wäre dann da (0,0,0) heraus kommt eine nichttriviale Lösung und (0,1,1) wäre dann die nicht-triviale Relation, oder verstehe ich das falsch?

Bei meiner zweiten angegeben Lösung würde es dann so aussehen:
1 0 0
0 1 -1
0-2 2

–> x1= 0 ; x2= x3; x3= x2 --> Das bedeutet dann, dass egal, ob man einen Schritt vorher oder nachher aufhört, es keinen Unterschied, macht, weil hier das gleiche Ergebnis -> (0,1,1) herauskommt, oder?

Wäre schön, wenn du dir die Zeit für diese Aufgabe noch nehmen könntest!

Viele Grüße, Mary

Hallo Mary!

1 2 2 2 1 2 1 0
2 4 6 8 -> 0 0 1 2 -> x1= -2x2-x3
3 6 8 10 x3= -2x4
x4= r
x2= s

Bis hier ist alles richtig.

Lösung: L={(x1,x2,x3,x4)= (-2s+r, s, -2r,r)

Hier hast Du einen Fehler gemacht: Wenn x₁=-2x₂-x₃ ist und x<sub>3=-2x4=-2r, dann ist x1=-2s+2r.

Der Rest ist dann folgerichtig, das heißt, Du kannst es.</sub>

2)

L={(x1,x2,x3,x4)= (-5/2r-3/2s-5, 1/2r+1/2s, r,s)/r,s e R^4}

Hier hab ich mir die Lösung nicht angesehen. Du kannst ja
einmal eine Probe machen, dann weißt Du, ob Du alles richtig
gemacht hast.

nun eine Basis U für den Lösungsraum des homogenen LGS!!

Hier setzt man die Gleichung einfach 0

Das musst Du doch nicht noch mal neu rechnen. Du weißt doch,
dass die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS gleich der
Lösungsmenge des zugehörigen homogenen LGS plus einer
speziellen Lösung ist.
Wenn Du nun schon die Lösungsmenge hast, brauchst Du doch nur
die spezielle Lösung (also alles, was nicht von einem
Parameter abhängt) außer acht zu lassen und die Basis wie oben
aufzustellen.

--> Basis U: (-5/2,1/2,1,0), (-3/2, 1/2, 0,1)
ist das richtig?

Das stimmt zumindest schon mal mit Deinem obigen inhomogenen
Ergebnis überein.

Liebe Grüße
Immo

[R_E_M]

Danke für deine Hilfe und Antwort!

Ich hab jetzt noch eine Aufgabe, hier muss ich bei folgenden gegebenen Vektoren: v1:frowning:1,0,1); v2= (1,1,t); v3= (t,t,1)
zuerst
1)eine Basis für U= span (v1, v2,v3) in Abhängigkeit von t Є R.
2) Bestimme für t= -1 eine nicht-triviale Relation zwischen v1,v2 und v3

Bei 1) habe ich zuerst einmal anhand von Gauß die Basis ausgerechnet:

1 1 t
0 1 t ->(1-2 Zeile)
1 t 1

1 0 0
0 1 t (3- 1 Zeile)
1 t 1

1 0 0
0 1 t
0 t 1

Wenn man hier schluss machen würde, wäre x1=0
x2= -t x3
und x3= -t x2 = -t(-t x3) = t² x3
-> L= {(x1,x2,x3)= x3(0,-t, t²)/ tЄ R³}
Basis: (0, -t, t²) oder (0,-1,1) ???

Jetzt wusste ich nicht, ob ich noch eine Umformung machen soll mit (3- 1 Zeile)
1 0 0
0 1 t
0 t-1 1-t

Dann wäre x1= 0; x2=-t x3 und

x3= - (t-1)x2/ (1-t)= - (t-1)*(-t x3)/ (1-t)= x3 (t²-1)/ (1-t) --> Dann wäre L= {(x1,x2,x3)= x3(0,-t, t²-1/ 1-t)/ t Є R³}

Hier wäre die Basis: (0,-t,t²-1/ 1-t) in Abhängigkeit von t.

Ich weiß jetzt nicht, welches von beiden richtig ist und ob man, wenn es um die Abhängigkeit von t geht t in der Basis stehen lassen darf.

Bei Aufgabe 2 würde stehen:

1 0 0
0 1 -1
0 -1 1
-> x1= 0; x2= x3; x3= x2
L= {(x1,x2,x3)= (0,1,1)

die nichttriviale Relation dazu wäre dann:

x1 (v1)+ x2 (v2)+x3(v3)= 0 (-> nicht-triviale Lösung)

–> 0* (1,0,1)+ 1 (1,1,-1)+ 1(-1,-1,1)= (0,0,0)
-> wäre dann da (0,0,0) heraus kommt eine nichttriviale Lösung und (0,1,1) wäre dann die nicht-triviale Relation, oder verstehe ich das falsch?

Bei meiner zweiten angegeben Lösung würde es dann so aussehen:
1 0 0
0 1 -1
0-2 2

–> x1= 0 ; x2= x3; x3= x2 --> Das bedeutet dann, dass egal, ob man einen Schritt vorher oder nachher aufhört, es keinen Unterschied, macht, weil hier das gleiche Ergebnis -> (0,1,1) herauskommt, oder?

Wäre schön, wenn du dir die Zeit für diese Aufgabe noch nehmen könntest!

Viele Grüße, Mary

[Max_B_ttner]

Hallo Mary,
Du solltest Dir angewöhnen, beim Gaußverfahren unbedingt die Dreiecksform der Matrix oder die sog.Staffelform anzustreben, also unterhalb der Haupt- diagonalen nur Nullen.
Also: Du hast die Rechnung zunächst zu früh abgebrochen, aber dann im weiteren Verlauf ungünstig fortgesetzt, denn Deine Matrix

1 0 0
0 1 t
0 t-1 1-t

hat ja immernoch keine Dreiecks-bzw. Staffelform: Auch der Term (3. Zeile/2. Spalte) muss Null werden. Das erreichst Du durch Multiplikation der 2. Zeile mit t-1 und anschließender Subtraktion der 3. von der2. Zeile:

1 0 0
0 1 t
0 0 t(t-1)-( 1-t)

bzw.

1 0 0
0 1 t
0 0 t²-1 (schöne Dreiecksform, bzw. für t=±1 Staffelform)

Wenn t ungleich ±1 ist, kannst Du die drei Spaltenvektoren dieser Matrix (in Abhängigkeit von t - das darf wirklich in der Lösung vorkommen) verwenden.
Dagegen ist für t=±1 Dein Vektorraum nur zweidimensional und hat nur die Basis (1/0/0), (0/1/0), denn der dritte Vektor ist ja nur ein Vielfaches des 2. Vektors.
Übrigens: Du hast manchmal tЄ R³ geschrieben, richtig wäre tЄ R.
Die zweite Aufgabe ist nun für Dich sicher ein Kinderspiel, wenn nicht, melde Dich noch mal.
Gruß von Max

[Anonym_e52f27a38f6b]

gegebenen Vektoren: v1:frowning:1,0,1); v2= (1,1,t); v3= (t,t,1)

Bei 1) habe ich zuerst einmal anhand von Gauß die Basis
ausgerechnet:

So kriegst Du keine Basis raus. Die Dimension des aufgespannten Raumes kannst Du aber mit Gauß ausrechnen.

1 1 t
0 1 t ->(1-2 Zeile)
1 t 1

1 0 0
0 1 t (3- 1 Zeile)
1 t 1

1 0 0
0 1 t
0 t 1

Wenn man hier schluss machen würde …

Dann musst Du den Gauß aber auch zu Ende machen, bis Du die Trapezform erhältst. Du würdest also noch die 2. Zeile mit t multiplizieren und von der 3. abziehen:

1 0 0
0 1 t
0 0 1-t²

Jetzt siehst Du, dass Du eine Nullzeile erhältst für t=±1. Für alle anderen Werte von t sind die drei Vektoren linear unabhängig, so dass span(v1,v2,v3)= R ³. Als Basis kannst Du dann die Standardbasis angeben.

In den anderen beiden Fällen musst Du jeweils einen der drei Vektoren streichen. Das ist relativ einfach, weil Du den zwei verbleibenden Vektoren sofort ansiehst, ob sie linear unabhängig sind – denn wenn nicht, so sind sie Vielfache voneinander.

Betrachte also den Fall t=1, dann hast Du

 /1\ /1\ /1\
v1=|0|, v2=|1|, v3=|1|
 \1/ \1/ \1/

– Du siehst sofort, dass (v1,v2) linear unabhängig sind und damit eine Basis von span(v1,v2,v3).

Für t=-1 erhältst Du

 /1\ / 1\ /-1\
v1=|0|, v2=| 1|, v3=|-1|
 \1/ \-1/ \ 1/

und siehst wieder, dass v1 und v2 linear unabhängig sind.

Allgemein könntest Du also angeben, dass (v1,v2) eine Basis für t=±1 ist, während (e1,e2,e3) {oder auch (v1,v2,v3)} eine Basis für t≠±1 ist.

Bei Aufgabe 2 würde stehen:

1 0 0
0 1 -1
0 -1 1
-> x1= 0; x2= x3; x3= x2
L= {(x1,x2,x3)= (0,1,1)

Das ging letztes Mal aber schon mal besser!
L ={(0,r,-r) | rє R }

die nichttriviale Relation dazu wäre dann:

x1 (v1)+ x2 (v2)+x3(v3)= 0 (-> nicht-triviale Lösung)

–> 0* (1,0,1)+ 1 (1,1,-1)+ 1(-1,-1,1)= (0,0,0)

Das hättest Du doch auch noch ohne Rechnerei herausbekommen, dass 1*(1,1,-1)+1*(-1,-1,1)=(0,0,0) ist, oder nicht?

und (0,1,1) wäre dann die nicht-triviale Relation,

Ich hätte als „nichttriviale Relation“ die obige Gleichung verstanden und kein Wertetripel, aber der Begriff „Relation“ wird in deiner Aufgabe eh in keiner Weise verwendet, die irgendeinem Standard entspräche. Was also anzugeben ist, weiß nur der Aufgabensteller und diejenigen, die seinem Skript / seiner Vorlesung aufmerksam gefolgt sind.

P.S. Bitte nutze Zitate sinnvoll. Niemandem ist geholfen, wenn mein Kommentar zu Deiner vorigen Aufgabe an Deiner nächsten Frage unten dranhängt.

[R_E_M]

Sorry, wegen den Zitaten, dass hab ich nicht so ganz gecheckt^^
Also ich setze noch einmal bei

1 0 0
0 1 t
0 0 1-t²

an.
Jetzt gibt es ja eine Fallunterscheidung, wie du schon richtig erklärt hast und zwar entweder

für t=±1.

oder für

alle anderen Werte von t sind die drei Vektoren linear
unabhängig, so dass span(v1,v2,v3)= R ³. Als Basis kannst Du
dann die Standardbasis angeben.

-> das verstehe ich jetzt noch nicht so ganz, wieso bei t ungleich -1/ 1 die Basis die Standardbasis wäre.

Ich hätte bei dem Fall t=1,

/1\ /0\ /0\
v0=|0|, v2=|1|, v3=|1|
\0/ \0/ \0/

Hier wäre die Basis dann: (0,-1,1)e R, oder?

Für t=-1 erhältst Du

/1\ / 0\ /0\
v1=|0|, v2=| 1|, v3=|-1|
\0/ \0/ \ 0/

Hier wäre die Basis (0,1,1) e R

Für t≠±1
1 0 0
0 1 t
0 0 1-t²

–> x1= 0, x2= -tx3, x3= 0, oder? da ja (1-t²)x3=0
Dann wäre die Basis doch: (0,0,0) e R
Da verstehe ich jetzt nicht, wie du drauf kommst, dass die Standardbasis die Basis von t≠±1 ist.

Bei Aufgabe 2 geht es ja darum eine nicht-triviale Relation zu finden für t=-1, dehalb kommt ja schon der Begriff "Relation"vor!

Aber danke für deine Antwort, also wäre dann bei Aufgabe 2 die Gleichung das Ergebnis sozusagen.

Ich habe noch eine Aufgabe, bei der ich nur das Problem habe, dass bei 2 verschiedenen Wegen die Inverse auszurechnen 2 unterschiedliche Ergebnisse herauskommen!
mit k=0
Ich habe die Matrix A :
/ 1 0 1 \
| 2 3 -k |
\ 1 1 -1 /

Ich hab zuerst mal mit der Determinante die Inverse berechnet.

Hier habe ich raus mit:
1/ det(A)*

(det(3 0) -det (2 0) det (2 3)
(1-1) (1-1) (1 1)
-det(0 1) det (1 1) -det(1 0)
(1-1) (1-1) (1 1)
det(0 1) -det(1 1) det (1 0)
(3 0) (2 0) (2 3)

wäre dann : - 1/4*
-3 2 -1
1 -2 -1
-3 2 3

Wenn ich Gauß Jordan mache, wäre es:

1 0 1| 1 0 0 1 0 0| 3/4 -1/4 3/4
2 3 0| 0 1 0 -> 0 1 0| -1/2 1/2 -1/2
1 1-1| 0 0 1 0 0 1| 1/4 1/4 -3/4

Wären die Ergebnisse nun beide Inverse von A, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

[R_E_M]

Hallo Max, danke für deine Mühe!

Also ich habe jetzt noch einmal alles eingesetzt und komme auf dieses hier.

1 0 0
0 1 t
0 0 1-t²

an.

Jetzt gibt es ja eine Fallunterscheidung
für t=±1 oder für t≠±1.

Ich hätte bei dem Fall t=1,

/1\ /0\ /0\
v0=|0|, v2=|1|, v3=|1|
\0/ \0/ \0/

Hier wäre die Basis bei mir dann: (0,-1,1)e R, oder?
mit einsetzen x1=0, x2=-x3, x3=r

Für t=-1

/1\ / 0\ /0\
v1=|0|, v2=| 1|, v3=|-1|
\0/ \0/ \ 0/

Hier wäre die Basis (0,1,1) e R
x1=0, x2= x3, x3=r

Für t≠±1
1 0 0
0 1 t
0 0 1-t²

–> x1= 0, x2= -tx3, x3= 0, oder? da ja (1-t²)x3=0
Dann wäre die Basis : (0,0,0) e R ,oder?

Du hast ja geschrieben:

Dagegen ist für t=±1 Dein Vektorraum nur zweidimensional und
hat nur die Basis (1/0/0), (0/1/0), denn der dritte Vektor ist
ja nur ein Vielfaches des 2. Vektors.

Das kann ich jetzt nicht so nachvollziehen. Nimmt man beim einsetzen von t= ±1 dann einfch die Zeilen/ Spalten die stehen bleiben und das ist dann die Basis?

Bei Aufgabe 2

1 1 -1
0 1 -1
0 -1 1

-> x1= -x2+ x3=0; x2= x3; x3= r
L= {(x1,x2,x3)= (0,1,1)

die nichttriviale Relation dazu wäre dann:

x1 (v1)+ x2 (v2)+x3(v3)= 0 (-> nicht-triviale Lösung)

–> 0* (1,0,1)+ 1 (1,1,-1)+ 1(-1,-1,1)= (0,0,0) Das wäre dann die nicht-triviale Relation,oder?

Ich habe noch eine Aufgabe, bei der ich nur das Problem habe, dass bei 2 verschiedenen Wegen die Inverse auszurechnen 2 unterschiedliche Ergebnisse herauskommen!
mit k=0
Ich habe die Matrix A :
/ 1 0 1 \
| 2 3 -k |
\ 1 1 -1 /

Ich hab zuerst mal mit der Determinante die Inverse berechnet.

Hier habe ich raus mit:
1/ det(A)*

(det(3 0) -det (2 0) det (2 3)
(1-1) (1-1) (1 1)
-det(0 1) det (1 1) -det(1 0)
(1-1) (1-1) (1 1)
det(0 1) -det(1 1) det (1 0)
(3 0) (2 0) (2 3)

wäre dann : - 1/4*
-3 2 -1
1 -2 -1
-3 2 3

Wenn ich Gauß Jordan mache, wäre es:

1 0 1| 1 0 0 1 0 0| 3/4 -1/4 3/4
2 3 0| 0 1 0 -> 0 1 0| -1/2 1/2 -1/2
1 1-1| 0 0 1 0 0 1| 1/4 1/4 -3/4

Wären die Ergebnisse nun beide Inverse von A, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Danke schon mal für deine Mühe!

Liebe Grüße, Mary

[Max_B_ttner]

Du, das tut mir momentan echt leid, dass ich für zwei Tage so gar keine Zeit habe, also frühestens Donnerstag (falls dann noch aktuell) aber nur mal so viel:
Du schreibst:
Das kann ich jetzt nicht so nachvollziehen. Nimmt man beim einsetzen von t= ±1 dann einfch die Zeilen/ Spalten die stehen bleiben und das ist dann die Basis?
Meine Antwort: ja
Übrigens : Der Nullvektor ist nie Element einer Basis, das widerspricht der Basisdefinition , worin enthalten ist, dass sie immer linear unabhängig ist.

… mehr auf http://www.wer-weiss-was.de/app/query/display_query?..

[R_E_M]

Hallo Max!

Ja, es reicht noch bis Donnerstag! Danke für deine Hilfe. Ist es dann egal, ob man die Zeile oder die Dpalte als Basis nimmt? Ich glaub, das verstehe ich jetzt noch nicht, wie man jetzt die Basis so nimmt bzw. was die Basis jetzt bei t ist ungleich -1 und +1 wäre.
Zuvor habe ich immer die Basis anhand von Gauß ausrechnen können, indem ich einfach die Variablen der Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems weggelassen habe, das klappt hier ja anscheinend hier nicht mehr!
Ich hoffe, du kannst mir später diese Frage auch beantworten!

Liebe Grüße, Mary

[Michael_16a5f9]

Hallo,

sorry, war unterwegs - ich denke, inzwischen dürften genug Antworten eingetroffen sein - ansonsten bitte kurz melden.

Viele Grüße

[Max_B_ttner]

Hallo Mary,
Du, das tut mir echt leid - ich war zuletzt so in Eile, dass mir auf die Schnelle ein Irrtum unterlaufen ist… peinlich, peinlich.
Also nun noch mal langsam: Deine Basen für den Sonderfälle t= ±1 sind vollkommen richtig. Schließlich ist der Rang r der Matrix 1 0 0
0 1 ±1
0 0 0
in diesen Fällen gleich 2 und damit die Dimension jeweils dim = n - r = 3 - 2 =1
Ich fürchte, Dir das letzte mal in der Eile gwas von zweidimensionalen Räumen gefaselt zu haben, oder so ähnlich - sorry.
Jetzt zum Fall t ungleich ±1 :
Die Lösungsmenge ist dann nur der Nullvektor, bzw x=0, y=0, z=0, So genau wie neulich will ich mich nun doch nicht festlegen, als ich schrieb: der Nullvektor kann keine Basis sein wegen seiner linearen Abhängigkeit. Dann aber hätte der Satz „Jeder Vektorraum hat eine Basis“ eine Ausnahme" (was die heutige Terminologie ist,finden wir vielleicht bei Google, ich gehöre einer Mathematikergeneration an, die in den Sechziger Jahren studiert hat.) Jetzt suche ich erst mal nach Deiner vorletzten Frage, ich glaube, da ist auch noch etwas offen geblieben.

[Max_B_ttner]

Hallo Mary,

0,75 -0,25 0,75
-0,5 0,5 -0,5
0,25 0,25 -0,75 ist die richtige Umkehrmatrix, die Du nach Gauß-Jordan richtig gerechnet hast.Ich habe auch die Probe (Matrizenmultiplikation ) gemacht. Falls Du Studentin bist, kennst Du das , falls Schülerin im Leistungskurs, dann eher nicht - ist aber auch egal) In Deiner ersten Version muss Dir ein Rechenfehler unterlaufen sein, denn wenn eine Matrix eine Inverse hat, dann natürlich nur genau eine.

[R_E_M]

Hallo Max!

Ich habe inzwischen (studiere)noch einmal nachgefragt und mir wurde jetzt gesagt, dass das, was du am Anfang als Lösung gegeben hast, doch richtig war!
Denn mir wurde gesagt, wenn man 3 Vektoren gegeben hat und man die Basis herausfinden soll, soll man die Vektoren in die Zeilen schreiben. Wenn eine Nullzeile herauskommt, dann sind sie linear abhängig und die 2 nicht Nullzeilen bilden dann eine Basis. Wenn es keine Nullzeile gibt, ist die Standardbasis die Basis zu den Vektoren. Also hattest du glaub ich schon recht. Wenn man die nicht-triviale Relation macht, nimmt man die Vektoren in Spalten und macht den Gauß so und rechnet ganz normal den Lösungsraum aus.
Bei der Sache mit der Inversen habe ich bei der Formel vergessen A adj zu transponieren. Wenn ich das mache, dann stimmen die beiden Ergebnisse überein!

Danke für deine Hilfe und ich entschuldige mich noch einmal für meine Unwissenheit.

Liebe Grüße, Mary