Hallo!
Ich habe ein mathematisches Problem aus dem Themenbereich der linearen Algebra und dem Umgang mit Logarithmusfunktionen.
Also, das Problem lautet wie folgt:
„Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte der Funktionenschar ft(x) = (ln(x))^2 + t*ln(x) ?“
Grüße
Antonius
Lieber Antonius,
wenn es um das Auffinden von Extremwerten geht, sollte Dir sofort die erste Ableitung einfallen. Diese kannst Du ohne Schwierigkeiten in Abhängigkeit von t bestimmen. Unsere Kurvenschar besitzt glücklicherweise nur einen Extremwert - um diesen zu ermitteln setzt man die Ableitung gleich 0. Du hast nun die x-Koordinate der Extremwerte in Abhängigkeit von t bestimmt. Nun nur noch nach t auflösen und in die Funktionenschar einsetzen. Du erhältst als Lösung:
h(x) = -(ln(x))^2
Liegen deine Probleme nur im Umgang mit dem natürlichen Logarithmus? Der Lösungsweg als solcher ist nämlich als trivial zu bezeichnen, da die Aufgabe völlig ohne Gemeinheiten daherkommt.
Viele Grüße
Christian
„Auf welcher Kurve liegen die Extrempunkte der
Funktionenschar ft(x) = (ln(x))^2 + t*ln(x) ?“
Erst mal gilt x>0 für die Funktion ft(x).
Ableitung f’t(x) = 1/x (2 ln x + t) = 0.
Ergibt (kleine Rechnung) x = e^(-t/2).
Der Extremwert stellt sich als Minimum raus.
Das setzen wir in die Funktionsgleichung ein:
ft(x) = ln²(e^(-t/2)) + t*ln(e-(t/2)) =
= (-t/2)² + t(-t/2) = t²/4 - t²/2 = -t²/4.
Also Kurve der Extrema y(t) = -t²/4.
Tabelle:
t x y
-4 e² -4
-2 e -1
-1 e^½ -1/4
0 1 0
1 e^½ -1/4
2 e -1
4 e² -4
So siehts bissi schöner aus, als in meinem anderen Post.
viele Grüzze, der Mathebüffel.
sri, ich bin momentan schlecht zu erreichen Grüsse von Wolfgang