Hallo,
der Definitionsbereich ist die Menge der Werte, die man in die Funktion einsetzen kann. Da der komplette Definitionsbereich gegeben ist, kann man diesen sehr leicht ablesen. Man kann dabei erst einmal von den rationalen oder reellen Zahlen ausgehen und dann weiter einschränken. Da in der Aufgabe ja schon so kleinlich auf irgendwelche Schreibweisen verwiesen wird, würde ich das dann dir überlassen. Einfach mal nachschauen, wie das euer Lehrer sehen will. Meiner Meinung nach sind Definitionsmenge und Definitionsbereich genau das gleiche. Der Wertebereich lässt sich ähnlich bestimmen, nur eben mit den Ergebnissen der Funktion, wenn man valide Argumente einsetzt.
Zur Umkehrfunktion. Du hast die Funktion y=f(x) gegeben. Die Umkehrfunktion wäre dann x=f^-1(y). Man muss also nur von der Seite auf das Diagramm sehen. Demzufolge ist der Graph der Umkehrfunktion schon eingezeichnet. Aber wahrscheinlich sieht das euer Lehrer wieder mal anders als ich. Man kann bei der Umkehrfunktion noch die Variablen tauschen, damit man wie mit allen anderen Funktionen arbeiten kann. Absolut überflüssig, meiner Meinung nach. Um den Graphen der variablengetauschten Umkehrfunktion zu ermitteln, musst du den Ausgangsgraphen einfach an der Geraden, die in der Abbildung „Winkelhalbierende“ genannt wird, spiegeln. Einfacher geht es, wenn du dir einfach ein paar Punkte aussuchst, und diese einzeichnest. Also einfach für bestimmte y-Werte den x-Wert suchen und dann mit getauschten Variablen einzeichnen. Der Punkt (y=6, x=3) würde dann also zu (x=6, y=3) werden. Wenn du genügend Punkte hast, kannst du den Graphen vollenden.
Die Frage, ob die Umkehrfunktion eine Funktion ist, ist genauso überflüssig. Das geht schon aus der Definition hervor. Schließlich ist sie eine Umkehrfunktion. Wenn durch Spiegelung des Graphen keine Funktion entsteht, existiert die Umkehrfunktion einfach nicht. Oder nur teilweise. Aber ich nehme an, das will euer Lehrer auch nicht hören. Ein wichtiger Punkt bei Funktionen ist, dass es für ein jedes Argument aus dem Definitionsbereich genau einen Funktionswert gibt. Das kannst du für die Umkehrfunktion ja prüfen. Und ggfs. noch andere Kriterien, die ihr für Funktionen eingeführt habt.
Definitionsbereich und Wertebereich der Umkehrfunktion kannst du bspw. ebenso ablesen wie in der ersten Aufgabe. Mit ein bisschen Nachdenken, wirst du aber feststellen, dass diese Mengen mit Definitionsbereich und Wertebereich der Ausgangsfunktion zusammenhängen und dadurch sehr einfach angegeben werden können.
Nico
