Bestimmung der Linearen Unabhängigkeit

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich versuche schon seit Tagen die lineare Unabhängigkeit zu verstehen, aber komme nicht so richtig weiter.
Natürlich habe ich schon im Internet geguckt, doch da bin ich auf widersprüchliche Aussagen gestoßen. Ihr seid meine letzte Chance!

Auf einer Seite habe ich gelesen, dass man die Vektoren (A) und (B) in eine Gleichung einsetzen soll, die so aussieht:
(A) = x * (B)
Wenn es eine Lösung gibt (z.B. x=0,5), dann sind die Vektoren linear abhängig
Wenn es keine Lösung gibt, sind sie linear unabhängig.

Auf einer anderen Seite habe ich gelesen, dass man die Vektoren mit einem Nullvektor (0) gleichsetzen soll. Also so:
x*(A) + y*(B) = (0)
Aber wie kriege ich denn raus, ob x und y wirklich 0 sind???

Meine Frage also: Wann sind Vektoren linear unabhängig voneinander??
Kann mir das jemand erklären, dass ich es verstehe? Vielleicht sogar mit einer Beispielaufgabe?!

Das wäre echt klasse.
Schon mal vielen Dank.

LG Robin

#2

Hallo!

Absolut keine Ahnung!

#3

Hi Robin,

lineare Unabhängigkeit von 2 Vektoren besagt, dass man keine relle Zahl x findet um von Vektor (A) auf (B) zu kommen, also x*(A) = (B) oder (A) = 1/x (B) , solange x nicht 0 ist
(durch 0 kann man ja nicht teilen).
BsP.
x*(2,1)^T = (8,4)^T eine Lösung mit x=4
x*(1,0)^T = (0,1)^T keine Lösung, also sind (1,0)^T und (0,1)^T linear unabhängig.

Hat man aber mehrere Vektoren (A),(B),©, … und will diese auf lineare Unabhängigkeit überprüfen,
dann kommt die sogenannte Linearkombination zustande,
indem man jeden Vektor mit einer anderen Variable multipliziert und alle zusammen addiert:

a*(A) + b*(B) + c*© + … = (0)
und mit dem Nullvektor (0) gleich setzt. Durch den Gaußalgorithmus kann nun eine Lösung für a,b,c,… gefunden werden.
Gibt es die Lösung, dass a=0,b=0, c=0, … also alle Variablen gleich 0 sind, sind diese Vektoren linear unabhängig. Andernfalls kann man einen Vektor mit Hilfe der anderen als die Linearkombination darstellen.

Beispiel linear abhängig:
a*(1,0)^T + b*(0,1)^T + c*( 4,5)^T = (0,0)^T
Lösung: a = -4, b = -5 , c= 1, denn

-4 * (1,0)^T + (-5)* (0,1)^T + 1*(4,5)^T = (0,0)^T

oder (subtrahiere 1*(4,5)^T auf beiden Seiten)

-4 * (1,0)^T + (-5)* (0,1)^T = -1*(4,5)^T

Beispiel linear unabhängig:

a * (1,0)^T + b * (1,1)^T = (0,0)^T

Zusammen geschrieben
1*a + 1*b = 0
0*a + 1*b = 0
also muss b=0 sein, damit die untere Gleichung erfüllt ist. Setze b=0 in die obere ein du erhälst
1*a + 1*0 = 0 , was a=0 zur Folge hat. Damit ist
a=0,b=0 die einzige mögliche Lösung für die Gleichheit.

Beide Definitionen für lineare Unabhängikeit sind identisch, denn
für x*(A) = (B) subtrahiere mal (B) auf beiden Seiten du bekommst
x*(A) - (B) = (0) , dann multiplizierst du eine Variable y auf beiden Seiten
xy*(A) - y*(B) = (0)

umschreibe mal x*y = a und -y = b , setze das ein und das Ergebnis ist
a*(A) + b*(B) = (0)

Der Unterschied ist nur, dass bei zwei Vektoren (A) und (B), die erste Möglichkeit mit x*(A)=(B) eine Lösung schneller zu sehen, bzw zu berechnen ist, falls diese existiert, da nur eine Variable „x“ zu berechnen ist anstatt „a“ und „b“.

Hoffe das hilft ein wenig. Morgen einen schönen Feiertag,
Benny

#4

Hi,

Vektoren sind linear unabhängig wenn die Gleichung x*(A) + y*(B) = (0) gilt nur wenn x und y gleich null.

das ist doch das gleiche:
ob x*(A) + y*(B) = (0) oder (A) = z * (B) mit x, y, z reelle Zahlen
Die erste Gleichung lässt sich umformen:
x*(A)=-y*(B)
(A)=(-y/x)*(B) und (-y/x)=z

Um zu prüfen muss Du nur das lineare Gleichungssystem (A) = z*(B) lösen. Wenn du für z null findest dann sind die Vektoren linear unabhängig.

LG Flo

#5

Sorry, aber ich bin leider kein Mathelehrer!

#6

Super, danke!!
Das hat mir echt weitergeholfen, habe es jetzt verstanden!
Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Danke noch mal,
Robin

#7

Hallo Robin,
Deine Frage ist relativ einfach zu beantworten, wenn wir uns auf zwei Vektoren (A) und (B)
beschränken.
Beide Versionen, die Du gelesen hast sind richtig und hängen sogar sehr eng miteinander zusammen. Bei der zweiten Version, die mit x und y, muss man aber noch hinzufügen,
dass (A) und (B) linear unabhängig sind, wenn die Gleichung x*(A) + y*(B) = (0) nur erfüllt wird, wenn beide Zahlen x und y gleichzeitig den Wert 0 haben.

Beispiel:
Wir überprüfen die beiden Vektoren (A) = (6;9;12) und (B) = (2;3;4)
Die drei Koordinaten habe ich hier nebeneinander geschrieben, normalerweise schreibt
man sie untereinander.
Erste Version: es gilt, wie man sofort sieht, (A) = 3*(B) , jede Koordinate von (A) ist das
Dreifache der entsprechenden Koordinate von (B).
Zweite Version: die Gleichung x*(A) + y*(B) = (0) wird von den Zahlen x=1 und y= -3
gelöst. Klar: aus (A) = 3*(B), folgt sofort, dass (A) – 3*(B) = (0).
Beide Versionen ergeben, dass (A) und (B) linear abhängig sind.
Anschaulich können wir uns beide Vektoren als Pfeile im dreidimensionalen Raum vorstellen.
Linear abhängig heißt dann, die beiden Pfeile haben gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung.

Gegenbeispiel: Wir lassen (A) unverändert und nehmen (B1) = (2;3;5)
Version 1: es gibt keine Zahl x, so dass (6;9;12) = x*(2;3;5)
Version 2: die Gleichung x*(6;9;12) + y*(2;3;5) = (0) wird nur durch x=0 und y=0 gelöst.
Die Vektoren (A) und (B1) sind linear unabhängig. Ihre Pfeile im Raum zeigen in unterschiedliche Richtungen.

Solltest Du das Problem auch für mehr als zwei Vektoren lösen müssen, melde Dich
bitte noch einmal!

Gruß
Jobie

#8

Hallo, da habe ich leider zu wenig Ahnung

#9

hi robin,

da bist du bei mir ausnahmsweise an den falschen geraten. ich hab die frage einem mathelehrer weitergegeben. bis jetzt hat er nicht geantwortet.
gegebenenfalls bekommst du dann eine antwort.

lg tf1995

#10

Hallo Robin

Erstmal sorry dass ich so spät schreibe aber ich möchte dir natürlich keine Antwort schuldig bleiben.

Deine beiden Beispiele drücken prinzipiell den selben Sachverhalt aus.

nehmen wir mal a=x*b dann ist x nur eine beliebige variable, welche man zum beispiel auch durch x=p/q darstellen kann, dann würde sich ergeben q*a=p*b (du siehst also dass es in deinen Beispielen nur zur Verwirrung kam weil beide male ein x vorkam). Und wenn man das noch auf eine Seite zieht wird das zu q*a-p*b=0. Das dazu!

Du siehst also, dass nicht q und p bzw x und y zu 0 werden sollen, sondern der gesamte Therm.

Vektoren lassen sich hier bescheiden darstellen, deswegen ein Zahlenbeispiel:
A1=1, A2=5, B1=2, B2=10 also 1=2x und 5=10x
x ist in beiden Fällen 1/2 also linear abhängig, wenn nicht dann linear unabhängig.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. und beim nächsten mal antworte ich früher.

Gruß Tony