Bestimmung der Linearen Unabhängigkeit

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich versuche schon seit Tagen die lineare Unabhängigkeit zu verstehen, aber komme nicht so richtig weiter.
Natürlich habe ich schon im Internet geguckt, doch da bin ich auf widersprüchliche Aussagen gestoßen. Ihr seid meine letzte Chance!

Auf einer Seite habe ich gelesen, dass man die Vektoren (A) und (B) in eine Gleichung einsetzen soll, die so aussieht:
(A) = x * (B)
Wenn es eine Lösung gibt (z.B. x=0,5), dann sind die Vektoren linear abhängig
Wenn es keine Lösung gibt, sind sie linear unabhängig.

Auf einer anderen Seite habe ich gelesen, dass man die Vektoren mit einem Nullvektor (0) gleichsetzen soll. Also so:
x*(A) + y*(B) = (0)
Aber wie kriege ich denn raus, ob x und y wirklich 0 sind???

Meine Frage also: Wann sind Vektoren linear unabhängig voneinander??
Kann mir das jemand erklären, dass ich es verstehe? Vielleicht sogar mit einer Beispielaufgabe?!

Das wäre echt klasse.
Schon mal vielen Dank.

LG Robin

#2

Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie kein Vielfaches voneinander sind.

zb:

Dabei sind die Angaben nicht als Koordinaten gedacht, sondern als Vektor, und somit übereinander geschrieben:

g:x= (1/2/3)+r*(1/2/3)
h:x= (2/3/4)+s*(6/12/18)

Diese beiden Geraden sind offensichtlich linear unabhängig. Um zu beweisen, ob sie linear unabhängig sind, musst du lediglich jede der drei Werte (bei uns damals x1,x2,x3 ;; Auch x,y,z genannt) überprüfen:

Die Richtungsvektoren lauten:
r*(1/2/3)
s*(6/12/18)

Also:

1*t=6
2*t=12
3*t=18

Wenn dieses lösbar ist, sprich jedes t hat den selben Wert, dann sind sie linear abhängig. Sollte das t nicht bestimmbar sein, also würde zb bei der oberen t=3 sein, und bei der 2. dann t=4, also einfach unterschiedliche Werte, dann wären die Richtungsvektoren linear unabhängig voneinander

Lg

#3

Hallo,

danke für Deine Antwort.

Also würde das ja quasi für mein erstes Beispiel sprechen. Es muss also nicht =0 gesetzt werden?!

robin

#4

Es geht (glaube ich) theoretisch auch. Denn wenn du zb:
Vektor 1: (1/2/3) und Vektor 2: (6/12/18) hast, dann kannst du auch sagen:

(1/2/3)-s*(6/12/18)=0
Dann wird halt s so bestimmt, dass die jeweilige Zeile 0 ergibt.

Also:

1-6s=0
2-12s=0
3-18s=0

Geht also theoretisch auch, finde aber Variante 1 deutlich angenehmer.

Lg

#5

hi,
die antwort („defintion“) von „legendsofhsv“ ist so nicht ganz richtig. vielleicht ist das bei den legends des HSV so und das erklärt unter umständen, warum der HSV letzthin nicht so erfolgreich war.

linear unabhängig sind vektoren immer dann, wenn der nullvektor eine einzige darstellung als linearkombination der vektoren besitzt.
nachdem
0 \cdot \vec{r_1} + 0 \cdot \vec{r_2} + … + 0 \cdot \vec{r_n} = \vec{0}
immer eine darstellung von \vec{0} ist, heißt das, dass bei linearer abhängigkeit es irgendeine andere darstellung des nullvektors gibt. das ist aber nur möglich, wenn mindestens ein vektor durch die jeweils anderen darstellbar ist.

wenn es um 2 vektoren geht, stimmt das von legendsofhsv eh noch. sind sie linear abhängig, dann gibt es also a und b mit
a \cdot \vec{r_1}+b \cdot \vec{r_2}=\vec{0} mit a \neq 0 oder b \neq 0. dann kann man den einen als vielfachen des anderen darstellen; sie weisen dann in die gleiche richtung.

sind es mehr als 2 vektoren, läuft lineare abhängigkeit darauf hinaus, dass immer wenigstens 1 vektor durch die anderen dargestellt werden kann. dieser vektor trägt dann also nichts mehr bei, was nicht schon durch die anderen erreichbar wäre.

es sind z.b die vektoren (1; 1; 0), (1; 2; 1) und (2; 3; 1) voneinander linear abhängig, denn
(1; 1; 0) + (1; 2; 1) - (2; 3; 1) = (0; 0; 0)
ist eine nicht-triviale null-darstellung.

wir haben damit zwar 3 vektoren in 3 verschiedenen richtungen, aber der dritte (oder jeweils einer davon) „trägt nichts wesentlich neues bei“. die 3 vektoren liegen „in einer ebene“; sie bilden nur ein 2-dimensionales gebilde, kein dreidimensionales (wie das möglich wäre).

„linear abhängige vektoren bleiben unter ihren möglichkeiten.“ sie nützen das durch ihre anzahl gegebene potenzial nicht wirklich aus.

m.

#6

Man kann es auch umständlich erklären
Ich habe gewiss nix mit der derzeitigen Situation vom HSV zu tun, auch wenn ich einiges anders gestaltet hätte :stuck_out_tongue:

In meiner LK-Klausur musste man lediglich die Abhängigkeit 2er Vektoren bestimmen, und da wa gewiss nicht nach dem Nullvektor gefragt, denn dies wäre jedes mal zu umständlich.

Man kann von Hamburg schließlich auch über München nach Berlin :wink:

Lg

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#7

oder allgemeingültig

Ich habe gewiss nix mit der derzeitigen Situation vom HSV zu
tun, auch wenn ich einiges anders gestaltet hätte :stuck_out_tongue:

Oh, in Bezug auf „Bloß nicht mehr tun als absolut nötig“ würde ich schon eine leichte lineare Abhängigkeit sehen :smile:

In meiner LK-Klausur musste man lediglich die Abhängigkeit 2er
Vektoren bestimmen, und da wa gewiss nicht nach dem Nullvektor
gefragt, denn dies wäre jedes mal zu umständlich.

Dafür hilft Dir Michaels Ansatz auch, wenn es um mehr als 2 Vektoren geht. Aber wahrscheinlich verlernt man ja, dass auch drei (Punkte) sein können, wenn man die Saison viel in die (Heißt sicher schon wieder anders beim HSV)-Arena ging: 14 mal kein Heimsieg.

Ciao, Allesquatsch

#8

LK?
hi,

In meiner LK-Klausur musste man lediglich die Abhängigkeit 2er
Vektoren bestimmen, und da wa gewiss nicht nach dem Nullvektor
gefragt, denn dies wäre jedes mal zu umständlich.

„LK“ heißt glaubich „leistungskurs“, stimps?

tja …

m.

#9

Hallo,

danke an alle.

Habe es jetzt verstanden!

LG Robin